Verificación de independencia lineal

Question

¿La siguiente prueba es correcta?

Teorema. Si $v_1,v_2,v_3,v_4$ es una lista linealmente independiente, entonces $$v_1-v_2,v_2-v_3,v_3-v_4,v_4$$ también es una lista linealmente independiente.

Prueba. Supongamos que $v_1,v_2,v_3,v_4$ es una lista linealmente independiente. Consideremos ahora la siguiente ecuación. $$0=0(v_1-v_2)+0(v_2-v_3)+0(v_3-v_4)+0v_4\tag{1}$$ Sean $a_1,a_2,a_3$ y $a_4$ escalares arbitrarios en $\mathbf{F}$ y supongamos que la siguiente ecuación se cumple $$0=a_1(v_1-v_2)+a_2(v_2-v_3)+a_3(v_3-v_4)+a_4v_4\tag{2}$$ Después de algunas manipulaciones algebraicas llegamos a la siguiente ecuación. $$0=a_1v_1+(a_2-a_1)v_2+(a_3-a_2)v_3+(a_4-a_3)v_4\tag{3}$$ Dado que la lista $v_1,v_2,v_3,v_4$ es linealmente independiente, se sigue que dado cualquier vector en $span(v_1,v_2,v_3,v_4)$ la elección de escalares es única y dado que $$0=0v_1+0v_2+0v_3+0v_4\tag{4}$$ Se deduce que todos los escalares en $(3)$ deben ser $0$, en consecuencia, la única manera de producir el vector $0$ como combinación lineal de los vectores en la lista $v_1-v_2,v_2-v_3,v_3-v_4,v_4$ es la indicada en $(1)$.

$\blacksquare$

Aquí $\mathbf{F}$ es ya sea $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$.

Answer 1

La ecuación (1) debería ser omitida: es un hecho obvio que no tiene consecuencia en el resto.

El argumento final es demasiado rápido: a partir de la independencia lineal de $v_1,v_2,v_3,v_4$ se deduce \begin{cases} a_1=0 \\ a_2-a_1=0 \\ a_3-a_2=0 \\ a_4-a_3=0 \end{cases> y, a partir de esto, $a_1=a_2=a_3=a_4=0. Esto debería ser mencionado, aunque sea fácil.

Un enfoque diferente es considerar las coordenadas de los nuevos vectores con respecto a los originales y así la matriz \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix> Una eliminación gaussiana estándar conduce a la forma escalonada reducida por filas \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix> lo cual prueba que los vectores de coordenadas son linealmente independientes y por lo tanto también los vectores lo son.

Answer 2

Es válido. Una nota:

Antes $(2)$ cuando dices "...y suponemos que la siguiente ecuación se cumple..." sería mejor quizás expresarlo como "Queremos resolver ... para $a_j$." Decir lo primero significa que estás asumiendo que existen soluciones - ¡pero no estás seguro! Este es un detalle pequeño, y quizás se refleja en mi estilo de escritura.

También podríamos simplificar un poco diciendo lo siguiente después de $(3)$.

Como $\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ es un conjunto linealmente independiente, debemos tener que $a_1 = 0, \ a_2-a_1=0, \ a_3 - a_2 = 0,$ y $a_4-a_3=0.$ La sustitución hacia atrás nos lleva a que cada $a_j = 0$, y así el conjunto original también es un conjunto linealmente independiente. $\square$

Nuevamente, estas son solo sugerencias pequeñas, pero de todas maneras tu demostración es correcta.