¿Implica Playfair a Proclus?

Question

Estoy interesado en la interacción entre los axiomas Playfair y Proclus en espacios lineales.

Por un espacio lineal entiendo un par $(X,\mathcal L)$ que consiste en un conjunto $X$ y una familia $\mathcal L$ de subconjuntos de $X$ tales que se satisfacen los siguientes axiomas:

(L1) para cualquier puntos distintos $x,y\in X$ existe un único conjunto $L\in\mathcal L$ que contiene los puntos $x,y$;

(L2) cada conjunto $L\in\mathcal L$ contiene al menos dos puntos distintos.

Los elementos de la familia $\mathcal L$ se llaman líneas. Por el axioma (L1), para cada puntos distintos $p,q\in X$ existe una única línea que contiene esos puntos. Esta línea única se denotará por $L(a,b)$. También ponemos $L(a,a)=\{a\}$.

Dado un espacio lineal $(X,\mathcal L)$, consideremos los siguientes axiomas (bien conocidos):

Playfair: Para cada línea $L\in\mathcal L$, puntos $a,b\in L$, $c\in X\setminus L$ y $x\in L(a,c)\setminus L$ existe un punto único $y\in L(c,b)$ tal que $L(x,y)\cap L=\emptyset$;

Proclus: Para cada línea $L\in \mathcal L$, puntos $a,b\in L$, $c\in X\setminus L$, $x\in L(a,c)\setminus\{c\}$, $y\in L(c,b)\setminus\{c\}$ y $z\in L(x,y)$, si $L(a,b)\cap L(x,y)=\emptyset$, entonces $L(c,z)\cap L(a,b)\ne\emptyset$.

Pregunta. ¿Implica Playfair a Proclus en espacios lineales?

Answer 1

Creo que la siguiente construcción proporciona un contraejemplo. Se basa en la observación de que el axioma de Playfair es bastante débil en el caso en que todas las líneas solo tienen tres puntos (produce algunas pares de líneas paralelas, pero no fuerza nuevas intersecciones entre líneas).

La geometría más simple en la que las líneas tienen tres puntos es un espacio vectorial ${\bf F}_3^n$ sobre el campo de tres elementos, donde las líneas $L$ toman la forma $\{a,b,c\}$ donde $a,b,c \in {\bf F}_3^n$ son distintos con $a+b+c=0$. Esta geometría resulta cumplir tanto con los axiomas de Playfair como de Proclus, así que todavía no tenemos un contraejemplo. Pero se puede modificar esta geometría de manera flexible mediante una construcción de producto sesgado. Sea $f: {\bf F}_3^n \to {\bf F}_3^m$ una función par arbitraria con $f(0)=0$. Entonces podemos definir una geometría en ${\bf F}_3^n \times {\bf F}_3^m$ definiendo las líneas como el conjunto de tríos $\{ (x,x'), (y,y'), (z,z')\}$ de tres puntos distintos $(x,x'), (y,y'), (z,z')$ en ${\bf F}_3^n \times {\bf F}_3^m$ con $$ x+y+z=0$$ y $$ x'+y'+z' = f(y-x)$$ (nótese que $f(y-x)=f(x-y)=f(z-y)=f(y-z)=f(x-z)=f(z-x)$ ya que $f$ es par y $x,y,z$ están en progresión aritmética). Se comprueba fácilmente que este es un sistema lineal. También cumple con el axioma de Playfair. Para ver esto, solo es necesario comprobar que si $(a,a'), (b,b'), (c,c')$ no son colineales, $(x,x')$ es el tercer punto en $L((a,a'), (c,c'))$, y $(y,y')$ es el tercer punto en $L((b,b'), (c,c'))$, entonces $L((a,a'),(b,b'))$ y $L((x,x'),(y,y'))$ no se intersectan. Supongamos por contradicción que se intersectan en $(z,z')$. Entonces tenemos las ecuaciones $$ a + b + z = a + c + x = b + c + y = x + y + z = 0$$ $$ a' + b' + z' = f(b-a)$$ $$ a' + c' + x' = f(c-a)$$ $$ b' + c' + y' = f(c-b)$$ $$ x' + y' + z' = f(y-x).$$ La primera ecuación (notando que se puede dividir por $2$ en ${\bf F}_3^n$) implica que $z=c$, $b=x$, $a=y$, por lo que los lados derechos de las siguientes cuatro ecuaciones son iguales; esto implica entonces que $z'=c', b'=x', a'=y'$, y luego $(a,a'), (b,b'), (c,c')$ son colineales, una contradicción.

Por otro lado, el axioma de Proclus no necesita ser obedecido. Tome tres puntos no colineales $(a,a'), (b,b'), (c,c')$, dej $(x,x')$ ser el tercer punto en $L((a,a'), (c,c'))$, deje $(y,y')$ ser el tercer punto en $L((b,b'), (c,c'))$, deje $(z,z')$ ser el tercer punto en $L((a,a'), (b,b'))$, y deje $(w,w') ser el tercer punto en $L((x,x'), (y,y'))$. Playfair da que $(w,w'), (z,z'), (c,c') son distintos; Proclus forzaría que estos tres puntos sean colineales. Esto da las ecuaciones $$ a+c+x=b+c+y=a+b+z=x+y+w=w+z+c=0$$ $$ a'+c'+x' = f(c-a)$$ $$ b'+c'+y' = f(c-b)$$ $$ a'+b'+z' = f(b-a)$$ $$ x'+y'+w' = f(y-z)$$ $$ w'+z'+c' = f(z-w).$$ Las últimas cuatro ecuaciones implican $$ f(c-a)+f(c-b) - f(b-a) - f(y-z) + f(z-w) = 3c' = 0.$$ Por otro lado, $y-z = a-c$ y $z-w = a+b+c$ así que simplificamos a $$ f(c-b) - f(b-a) + f(a+b+c) = 0.$$ Pero se puede construir fácilmente un $f$ para el cual esta ecuación falle para algunos puntos no colineales $a,b,c$, así que el axioma de Proclus puede fallar.