Particionando $k$-subconjuntos en grupos disjuntos

Question

Quiero el siguiente resultado:

Para cualquier $k\ge 1$ y $n$ suficientemente grande, existe un número grande $N(n,k)$ (creo que $N(n,k) = \lfloor n/k\rfloor -1$, pero $C(k)\cdot n$ con $C(k)>0$ independiente de $n$ estaría bien) tal que todos los $k$-subconjuntos de $\{1,\dots,n\}$ pueden ser partitionados en varios grupos de manera que cada grupo consista de al menos $N(n,k)$ subconjuntos mutuamente disjuntos.

De hecho, puedo probar esto con $C(k) = 1/2k$, pero suena muy clásico, así que agradecería una referencia.

Answer 1

Encontré la respuesta en el Teorema 2 del artículo The edge-coloring of complete hypergraphs I

Específicamente, establece en este teorema $r=n, m=1, h=k$, escribe ${n\ellos\ eligen\ k} = s_1\cdot \lfloor n/k\rfloor + s_2\cdot (\lfloor n/k\rfloor-1)$ para algunos enteros no negativos $s_1, s_2$, define $s = s_1 + s_2$, $a_1 = \dots = a_{s_1} = \lfloor n/k\rfloor$, $a_{s_1+1} = \dots = a_{s} = \lfloor n/k\rfloor - 1$. Aplicando el Teorema 2 se obtiene la partición de los bordes del hipergrafo completo $K^k_n$, equivalentemente, la partición de todos los $k$-subconjuntos de $[n]$, en conjuntos $E_1,\dots, E_s$ tal que, para cada hipergrafo $([n], E_i)$, la valencia de cada vértice es aproximadamente $k\lfloor n/k\rfloor/n$ o $k(\lfloor n/k\rfloor-1)/n$, es decir, $0$ o $1$, equivalente, para cada colección $E_i$ de $k$-subconjuntos, cada $x\in[n]$ pertenece a lo sumo a uno de ellos.