¿La reflexividad de la igualdad es un axioma o un teorema?

Question

Todo el mundo sabe que la igualdad es reflexiva: $\forall(x)(x=x)$. ¿Pero la reflexividad de la igualdad debería tomarse como un axioma de la lógica o como un teorema de la teoría de conjuntos?

Si eliges lo primero, entonces probablemente necesites el axioma de extensionalidad: $\forall(x)\forall(y)(x=y\leftrightarrow\forall(z)(z\in x\leftrightarrow z\in y))$.

Si eliges lo segundo, entonces probablemente $x=y$ sea solo una abreviatura de $\forall(z)(z\in x\leftrightarrow z\in y)$.

Lo que estoy intentando hacer es escribir demostraciones para hechos básicos sobre teoría de conjuntos, pero no estoy tan seguro de qué axiomas lógicos y reglas de inferencia debería dar por sentado.

Gracias.

Answer 1

Todos queremos que la reflexividad sea demostrable en cualquier teoría de primer orden, no solo en teoría de conjuntos. Por lo tanto, esta pregunta no tiene nada que ver particularmente con la teoría de conjuntos o con la extensionalidad. Seguramente queremos x=x en todos los grupos, todos los anillos, todos los grafos, y así sucesivamente en cualquier contexto matemático.

Entonces la respuesta es que o la agregamos como un axioma, o nos aseguramos de tener otros axiomas lógicos que puedan demostrarlo. Lo que parece que deseas o necesitas son los detalles explícitos de tu sistema de prueba formal. Puedes elegir entre muchos sistemas lógicos disponibles (ver la página de Wikipedia sobre teoría de la prueba http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_la_prueba). En particular, el cálculo de Hilbert incluye explícitamente la reflexividad como un axioma lógico.

En última instancia, es una elección irrelevante si lo tienes como un axioma o como un teorema, a menos que seas un teorista de la prueba, que está estudiando las pruebas mismas como objetos matemáticos, en lugar de usar la prueba para entender su contenido matemático, como pareces estar haciendo.

Answer 2

Me gustaría señalar que las propiedades habituales de la relación de igualdad, incluida la reflexividad, se siguen de una regla de prueba de dos vías única de Lawvere (expresada en estilo de deducción natural):

$$\frac{\Theta \vdash \phi[x/y]}{\Theta, x=y \vdash \phi}$$

Esto debe leerse como una regla de dos vías (no sé cómo producir una doble línea horizontal), es decir, desde arriba podemos inferir lo de abajo y viceversa. La regla tiene la forma de una adjunción entre funtores, o una conexión de Galois si se quiere (la igualdad es adjunta izquierda a la contracción es lo que dice la regla). Personalmente, encuentro esto más iluminador que preguntarme si la igualdad está axiomatizada o derivada.

Por ejemplo, la reflexividad se sigue cuando tomamos $\phi$ como la fórmula $x = y$ y leemos la regla de abajo hacia arriba: porque $x = y \vdash x = y$ también es el caso de que $\vdash x = x$.

Referencia: Bart Jacobs, "Lógica categórica y teoría de tipos", Lema 4.1.7, página 229, disponible en Google books.

Answer 3

Creo que es importante considerarlo. El axioma de extensionalidad se proporciona como un medio para definir la igualdad entre conjuntos. Aproximadamente afirmamos "Un conjunto X es igual al conjunto Y si y solo si ambos tienen exactamente los mismos elementos." Una declaración más precisa, teniendo en cuenta que nos gustaría cuantificar sobre dominios que podemos definir, es la siguiente:

1) $X=Y\leftrightarrow \ \forall x \in X\ (x\in Y) \ \wedge \ \forall y \in Y\ (y\in X).$

Esto es simplemente definir una relación de igualdad para conjuntos, y la reflexividad proviene de la definición en lugar de tener que ser presentada como un axioma. Por ejemplo, tomando X=X,

$\forall x \in X\ (x\in X) \ \wedge \ \forall x \in X\ (x\in X),$

es bastante verdadero.

Podemos decir que la reflexividad es un teorema aquí. Es una de las propiedades de una Relación de Equivalencia, que debe cumplir con la reflexividad, simetría y transitividad. Nuestra relación de 'igualdad' en conjuntos felizmente cumple con estas reglas. Me gusta considerar la igualdad como una relación posible que podemos definir sobre objetos, con algunas propiedades que queremos que se cumplan. Si estuviéramos viendo las cosas desde la perspectiva de la lógica, podríamos tomar estas propiedades como axiomas y demostrar la existencia de tales relaciones como teoremas. No estoy completamente seguro de esto. Pero desde la perspectiva de la teoría axiomatizada de conjuntos, el axioma de extensionalidad implica de manera muy concreta el resto de las propiedades de igualdad.

Answer 4

Logré escribir una prueba para la reflexividad de la igualdad utilizando solo la definición de igualdad en términos de pertenencia y las reglas de la deducción natural.

1. Premisa: $\forall x_0\forall x_1\left(\left(x_0=x_1\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in x_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in x_1\right)\right)\right)$
2. Suposición (1): $\forall x_0\forall x_1\left(\left(x_0=x_1\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in x_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in x_1\right)\right)\right)$
3. Eliminación universal (2): $\forall x_1\left(\left(k_0=x_1\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in x_1\right)\right)\right)$
4. Eliminación universal (3): $\left(\left(k_0=k_0\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in k_0\right)\right)\right)$
5. (Subprueba 1) Premisa: $\left(k_2\in k_0\right)$
6. (Subprueba 1) Suposición (5): $\left(k_2\in k_0\right)
7. (Subprueba 2) Premisa: $\left(k_2\in k_0\right)$
8. (Subprueba 2) Suposición (7): $\left(k_2\in k_0\right)$
9. Introducción de bicondicional (5, 6, 7, 8): $\left(\left(k_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(k_2\in k_0\right)\right)$
10. Introducción universal (9): $\forall x_2\left(\left(x_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in k_0\right)\right)$
11. Eliminación de bicondicional (4, 10): $\left(k_0=k_0\right)$
12. Introducción universal (11): $\forall x\left(x=x\right)

De manera similar, también escribí la prueba para la simetría y para la transitividad de la igualdad.

Answer 5

Por lo que vale (ha pasado un tiempo), los tratamientos que he visto toman las propiedades fundamentales de la igualdad (reflexividad, simetría y transitividad, más axiomas que establecen que no puedes distinguir entre objetos iguales) como axiomas, aunque no realmente como axiomas de lógica. Más bien, existen teorías de primer orden, y entre ellas están las teorías de primer orden con igualdad, lo que significa que tienen una relación binaria "=" y axiomas asociados. Luego, se dedica solo una página o dos a trabajar las consecuencias de esto, y más tarde, la teoría de conjuntos es solo otro ejemplo de una teoría de primer orden con igualdad.

Sin embargo, me pregunto: Si eliminas la igualdad y el axioma de extensionalidad, tratando la igualdad solo como una abreviatura como sugieres, ¿cómo pruebas que, si cada miembro de x es igual a un miembro de y y viceversa, entonces x\=y?