Así que supongo que está hablando sobre componentes del subespacio $U$.
Así es, Munkres se refiere a los componentes conexos del subespacio $U$. Ser conexo es una propiedad intrínseca de un espacio topológico, no depende de ningún espacio ambiente. Por lo tanto, los componentes de $U$ son subconjuntos conexos de cualquier espacio en el que estén incrustados, en particular son subconjuntos conexos de $X$ y, por lo tanto, contenidos en componentes de $X.
Nótese que dado que $U$ es abierto en $X$, para un subconjunto de $U$, las condiciones de ser abierto en $X$ y ser abierto en $U$ coinciden. Dado que un subespacio abierto de un espacio localmente conexo es nuevamente localmente conexo, se puede formular una dirección del teorema
Los componentes de un espacio localmente conectado son abiertos.
Esto se sigue casi inmediatamente de la definición de conexidad local.
La otra dirección - si $X$ es un espacio tal que los componentes de cada subespacio abierto $U$ de $X$ son abiertos, entonces $X$ es localmente conectado - tampoco es difícil. Fijemos $x \in X$ y un entorno $W$ de $x$. Dado que los componentes de $\overset{\Large\circ}{W}$ son abiertos en $X$, el componente de $\overset{\Large\circ}{W}$ que contiene a $x$ es un entorno de $x, y, como componente, es conexo.
Tengo una pregunta más: ¿Cómo podemos determinar un componente de $U$ en general? ¿Es igual a la intersección de un componente de $X$ y $U$?
En general, la intersección de un componente de $X$ con un subespacio $U$ no necesita ser conectada.
Para un ejemplo (muy) simple, consideremos el espacio $X = \{ z \in \mathbb{C} : \lvert z\rvert \notin \mathbb{N}\}$ y su subespacio abierto $U = \bigl\{ z \in X : \lvert \operatorname{Re} z\rvert < \frac{1}{2}\bigr\}$. Los componentes de $X$ son los anillos $A_n = \{ z : n < \lvert z \rvert < n+1\}$ y la intersección $A_n \cap U$ consta de dos componentes para $n \geqslant 1$.
Pero no te dejes engañar, la situación general puede ser mucho más complicada. La intersección de un componente de $X$ con un subespacio abierto $U$ puede tener infinitos componentes. Como ejemplo más complicado pero aún simple, sea $X = \bigl\{ \bigl(t, \sin \frac{1}{t}\bigr) : t \in (0,+\infty)\bigr\} \cup \{0\}\times [-1,1]$ (la curva seno del topólogo). Entonces $X$ es conectado (pero no conexo por trayectorias), sin embargo, el subconjunto abierto $U = \{ (x,y) \in X : x^2 + y^2 < 1/4\}$ tiene infinitos componentes.
En general, los componentes de $U$ son subconjuntos de la intersección de un componente de $X$ con $U$. Ocasionalmente, dicha intersección será conectada y, por lo tanto, un componente de $U, pero típicamente comprenderá muchos componentes de $U$. Sin embargo, conocer los componentes de $X$ puede ayudar a identificar los componentes de $U, ya que puede ser más fácil analizar la intersección de dicho componente con $U$ que analizar todo el subespacio $U$ (si los componentes de $X$ tienen una estructura simple pero $U$ es complicado).
