La función $f$, $f''(x) + f'(x) - e^x f(x) =0$ no puede tener un máximo no negativo a menos que $f\equiv 0$

Question

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función $C^2$, que satisface

\begin{align} f''(x) + f'(x) - e^x f(x) =0 \end{align} para $x \in \mathbb{R}$.

Quiero demostrar que $f$ no puede tener un máximo no negativo a menos que $f\equiv 0$.

No tengo idea en este momento. Mi primer intento fue sustituir $f(x) = e^{\alpha x} g(x)$ y encontrar $\alpha$ y la solución de $g(x)$ pero esto no funcionó.

Answer 1

Como tu función es diferenciable, si tiene un máximo en $x_0$, entonces $f'(x_0)=0$. Entonces $$ f''(x_0)=e^{x_0}\,f(x_0). $$ Si el máximo es positivo, entonces $f(x_0)>0$, por lo que el lado derecho es positivo: así que $f''(x_0)>0$, lo cual es una contradicción.