Puede alguien dar un argumento, a ser posible utilizando sólo los axiomas de la teoría de conjuntos, porque estoy muy débil allí y no tienen virtualmente ningún fondo, excepto el conocimiento generalmente de la operación con los conjuntos uno tiene que tener al hacer matemáticas no-investigación de la no-teoría del conjunto, porqué $\emptyset \in \emptyset$ o $\emptyset \subseteq \emptyset$ debe o no debe mantener?
Respuestas
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El conjunto vacío $\varnothing$ es el único conjunto que satisface $\forall x(x\notin y)$ (es decir, la fórmula es verdadera si y sólo si $y=\varnothing$ )
Hay muchas formas de definir el conjunto vacío (el conjunto de todos los $x$ tal que $x\neq x$ - utilizaremos esta fórmula más adelante) pero por el axioma de extensionalidad es única.
El axioma de extensionalidad es, en palabras sencillas, dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. O formalmente: $$\forall x\forall y\bigg(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\leftrightarrow x=y\bigg)$$ Así que desde $\varnothing=\{x\mid x\neq x\}$ podemos deducir que $\varnothing\notin\varnothing$ de lo contrario $\varnothing$ sería tal $x$ para lo cual $x\neq x$ .
Peor aún, si $\varnothing\in\varnothing$ entonces contradecimos otro axioma de ZFC - el axioma de fundamento (o regularidad) que afirma que hay un $\in$ -elemento mínimo en cada conjunto no vacío. Dado que $\varnothing\in\varnothing$ tendremos que $\varnothing$ no está vacío.
¿Qué significa eso? Significa que si considero un conjunto, hay alguien en ese conjunto que nadie más en ese conjunto es su elemento. Un corolario rápido es que $\forall x (x\notin x)$ en particular para $\varnothing$ .
Por último, $\varnothing\subseteq\varnothing$ . Consideremos el significado de $\subseteq$ : $$\forall x\forall y\bigg(\forall z(z\in x\rightarrow z\in y)\leftrightarrow x\subseteq y\bigg)$$ Informalmente tenemos que $x$ es un subconjunto de $y$ si y sólo si todos los elementos de $x$ son elementos de $y$ con esto podemos reformular el axioma de extensionalidad como $\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow(x\subseteq y\land y\subseteq x))$ .
En particular, $\varnothing=\varnothing$ así que $\varnothing\subseteq\varnothing$ .
Sin embargo, de la definición de $\subseteq$ por la idea de verdad vacua ya que para todo $z$ tenemos $z\notin\varnothing$ la cláusula $z\in\varnothing\rightarrow z\in y$ es siempre cierto, por lo tanto $\varnothing\subseteq y$ para cada $y$ .
Xenph Yan
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Un argumento axiomático (como señala ccc, debemos suponer que los axiomas de ZF son de hecho consistentes) procedería como sigue: Por la axioma del conjunto vacío , $\forall x(\neg x\in\emptyset)$ . Así, en particular, es falso que $\emptyset\in\emptyset$ .
He aquí una explicación más intuitiva. $\emptyset\in\emptyset$ es falso porque $\emptyset$ no tiene elementos (por definición). En otras palabras, $$\emptyset=\{\}.$$ Un conjunto que contiene el conjunto vacío es un conjunto perfectamente válido, por ejemplo, $$\{\emptyset\};$$ pero es evidente que $\emptyset$ no es un conjunto que contenga $\emptyset$ como elemento.
Sin embargo es cierto que $\emptyset\subseteq\emptyset$ . Para cualquier conjunto $A$ y $B$ decimos que $A\subseteq B$ precisamente cuando $\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$ . Hay dos maneras de que esto quede claro para el caso $A=B=\emptyset$ En primer lugar, es cierto que $P\Rightarrow P$ para cualquier declaración $P$ (aquí la declaración $P$ es " $x\in \emptyset$ "), por lo que $A\subseteq A$ para cualquier conjunto $A$ y, en particular $\emptyset\subseteq\emptyset$ . En segundo lugar, para todos $x$ es falso que $x\in\emptyset$ por lo que la implicación $x\in\emptyset\Rightarrow P$ es verdadera para cualquier afirmación $P$ (véase aquí ).
