Resolviendo la derivada logarítmica en forma implícita

Question

Tengo la siguiente función $$ a\text{log}\left(X\right)+b\text{log}\left(y\right)=c\left[d\text{log}\left(X\right)+e\text{log}\left(y\right)\right]+\text{log}\left(\frac{A}{B}\right) $$ Deseo calcular la siguiente derivada: $$ \frac{\partial\log\left(\frac{X}{Y}\right)}{\partial\log\left(\frac{A}{B}\right)} $$

He intentado numerosas técnicas, pero no estoy seguro de cómo proceder. Imagino que el teorema de la función implícita es apropiado aquí, pero no puedo escribir el LHS en términos de $\log\left(\frac{X}{Y}\right)$ dada la presencia de los coeficientes $a$ y $b$. Cualquier consejo sobre esto será muy apreciado.

Answer 1

Usando $\delta$ como un símbolo para diferencial para evitar confusión con la constante $d$, tenemos

$$a\log\left(X\right)+b\log\left(Y\right)=c\left[d\log\left(X\right)+e\log\left(Y\right)\right]+\log\left(\frac{A}{B}\right)$$

$$a\delta\log\left(X\right)+b\delta\log\left(Y\right)=c\left[d\delta\log\left(X\right)+e\delta\log\left(Y\right)\right]+\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)$$

$$(a-cd)\delta\log\left(X\right)+(b-ce)\delta\log\left(Y\right)=\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)$$

$$(a-cd)\delta\log\left(\frac X Y\right)+(a+b-cd-ce)\delta\log\left(Y\right)=\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)$$

$$(a-cd)\delta\log\left(\frac X Y\right)=\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)-(a+b-cd-ce)\delta\log\left(Y\right)$$

$$\frac{\delta\log\left(\frac X Y\right)}{\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)}=\frac{1-(a+b-cd-ce)\frac{\delta\log\left(Y\right)}{\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)}}{a-cd}$$

con $a-cd \neq 0$ y para $a+b-cd-ce=0$

$$\frac{\delta\log\left(\frac X Y\right)}{\delta\log\left(\frac{A}{B}\right)}=\frac 1{a-cd}$$