Mostrar que si $N=2^p -1$, $p$ primo, entonces $2^{N-1} \equiv 1$ mod $N$

Question

$N=2^p -1$, $p$ primo $\implies$ $2^{N-1} \equiv 1$ mod $N

Pensé en usar el Teorema de Euler: claramente $(2, 2^p -1)=1$, entonces $2^{\varphi (N)} \equiv 1$ mod $N$, lo cual finalizará la prueba si N es un primo.

¡Uh oh, $2^{11} -1$ no es primo, así que este argumento no funcionará.

Answer 1

Esto es equivalente a demostrar que si $p$ es primo, entonces $2^p-1 \mid 2^{2^p-2}-1.$ Por lo tanto, basta con demostrar que $p \mid 2^p-2$, lo cual es una clara consecuencia del pequeño teorema de Fermat.

Answer 2

Es suficiente tener $2^p\equiv 1\pmod{\! N}$. Por el Pequeño Teorema de Fermat $\frac{2^p-2}{p}=\frac{N-1}{p}$ es un número entero.

$$2^p\equiv 1\pmod{\! N}\stackrel{\frac{N-1}{p}}\implies 2^{N-1}\equiv 1\pmod{\! N}$$