Estoy trabajando en calcular el valor esperado del recíproco del cuadrado de una variable $X$ que sigue una distribución Inversa Gaussiana con parámetros $\mu$ (media) y $\lambda$ (forma). La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución Inversa Gaussiana está dada por:
$f(x; \mu, \lambda) = \left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left(-\frac{\lambda (x-\mu)^2}{2\mu^2 x}\right) $
para $x > 0$. Estoy tratando de encontrar:
$ E\left[\frac{1}{X^2}\right] = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2} f(x; \mu, \lambda) \, dx $
lo cual se simplifica a:
$ E\left[\frac{1}{X^2}\right] = \left(\frac{\lambda}{2\pi}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\infty} x^{-\frac{7}{2}} \exp\left(-\frac{\lambda (x-\mu)^2}{2\mu^2 x}\right) \, dx $
No estoy seguro de cómo abordar la resolución de esta integral y me pregunto si hay una solución en forma cerrada conocida o si generalmente requiere métodos numéricos para su evaluación. Cualquier información o referencia a técnicas o literatura relevante sería muy apreciada.
