Demuestra que $\lim_{h\to0}\frac 1{he^{\frac 1{h^2}}}=0$

Question

Me gustaría demostrar que $$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac 1{he^{\frac 1{h^2}}}=0.$$

Pero la Regla de L'Hopital no parece ayudar, ni tampoco el Teorema del Sandwich. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$\dfrac 1{he^{\frac 1{h^2}}}=\dfrac {\frac{1}{h}}{e^{\frac 1{h^2}}}\xrightarrow[h\to0^+]{}\dfrac{+\infty}{+\infty}$ L'Hôpital $\Rightarrow$

$\displaystyle \lim_{h\to 0^+}\dfrac 1{he^{\frac 1{h^2}}}=\lim_{h\to0^+}\dfrac {-\frac{1}{h^2}}{-\dfrac{2e^{\frac 1{h^2}}}{h^3}}=\lim_{h\to0^+}\dfrac {h}{2e^{\frac 1{h^2}}}=0.$

Do the same for the $\lim_{h\to0^-}$

$\dfrac 1{he^{\frac 1{h^2}}}=\dfrac {\frac{1}{h}}{e^{\frac 1{h^2}}}\xrightarrow[h\to0^-]{}\dfrac{-\infty}{+\infty}$ L'Hôpital $\Rightarrow$

$\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac 1{he^{\frac 1{h^2}}}=\lim_{h\to0^-}\dfrac {-\frac{1}{h}}{-\dfrac{2e^{\frac 1{h^2}}}{h^3}}=\lim_{h\to0^-}\dfrac {-h}{2e^{\frac 1{h^2}}}=0.$

Answer 2

Establecer $x= 1/h$:

$$ \lim_{h \to 0} {1 \over h e^{1/h^2}} = \lim_{x \to \infty } {x \over e^{x^2}} = 0$$

como el límite de una función continua $f$ obedece la regla $ \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$

Answer 3

Sustituyendo, $h=\frac{1}{t}$,

entonces $$\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{he^{1/{h^2}}}=\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{t^2}}=0$$

y de manera similar, $$\lim_{h\to 0^-}\frac{1}{he^{1/{h^2}}}=\lim_{t\to -\infty}\frac{t}{e^{t^2}}=0$$

Dado que, $$\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{he^{1/{h^2}}}=\lim_{h\to 0^-}\frac{1}{he^{1/{h^2}}}$$

por lo tanto, $\lim_{h\to 0}\frac{1}{he^{1/{h^2}}}$ existe y es igual a $0$