Identificando esta relación de recurrencia caótica (?)

Question

Actualización: Estoy trabajando en un diagrama de bifurcación interactivo:

http://matt-diamond.com/sineMap.html

Aquí está la imagen cuando las coordenadas iniciales son [0.5, 0.5]

Los diagramas de bifurcación difieren dependiendo de si las coordenadas son iguales entre sí o si una de las coordenadas es 0 (esencialmente si la coordenada está en un eje o en una diagonal). Personalmente creo que este "axial/diagonal" se ve más genial. :)

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Estaba jugando con relaciones de recurrencia bidimensionales en Grapher, y me topé con esto:

$$ x_{n+1} = \sin(k(y_n + x_n))\\ y_{n+1} = \sin(k(y_n - x_n)) $$ Aquí tienes una animación comenzando desde un estado inicial de [0.1, 0.2] y con k aumentando de 0 a 2:

Lo mismo pero con un estado inicial de [1, 0]:

Aquí tienes un comportamiento interesante cuando k avanza de 1 a 1.6:

Me preguntaba si este era un verdadero mapa caótico y si podría tener alguna propiedad interesante.

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Edición: Mira esto... aquí está k = 1.4, $y_0 = 0$, $x_0$ aumentando de 0 a 1:

Es como si pudieras verlo cambiando entre dos ciclos límite diferentes...

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Edición 2: Para aquellos curiosos de cómo fui capaz de crear una relación de recurrencia en Grapher, aquí hay una captura de pantalla que demuestra la idea principal:

Answer 1

Por lo que sé, no hay una definición clara de un "verdadero mapa caótico". Pero ciertamente hay algunos que todos están de acuerdo en que son caóticos, por ejemplo, el mapa logístico, con su famoso diagrama de bifurcación.

Para tu mapa, fui y generé un diagrama de bifurcación para las coordenadas $x$ - específicamente, en este gráfico, $k$ está en el eje horizontal, variando de $0$ a $3$. Para cada valor de $k$, omití las primeras $10000$ iteraciones, luego tracé las próximas $10000$ $x_n$ a lo largo del eje vertical.

Esas áreas negras sólidas son caos - incluso después de $10000$ iteraciones, las coordenadas $x$ estaban distribuidas de manera uniforme en el intervalo $[0,1]$. Pero ¿ves esas áreas en el medio, donde solo hay unos pocos puntos? Esas son áreas de estabilidad, al igual que en el mapa logístico. Ese tipo de comportamiento lo llamaría definitivamente caótico.

Una diferencia interesante respecto al mapa logístico es que parece degenerar en caos muy ràpidamente, sin ninguna o prácticamente ninguna de las características de duplicación de periodo del mapa logístico. O posiblemente la duplicación de periodo está ocurriendo, pero demasiado rápido para verse en esta escala.