Hay otra técnica que rara vez se muestran a los alumnos en toda su fuerza: el teorema de Rouch, que dice que si $f_t(z)$ ($0\le t\le 1$) es un continuo de la familia de funciones analíticas y $G$ es un buen dominio, entonces si no $f_t$ nas ningún cero en $\partial G$, las funciones de $f_0$ $f_1$ tienen el mismo número de ceros en $G$.
Aquí podemos tomar $G$ ser lo suficientemente grande trimestre de disco. El cuarto de círculo no es un problema siempre y cuando se mantenga el plazo $z^4$ intacto. El positivo de la radio no es un problema si no matamos $3$ o introducir coeficientes negativos en nuestra homotopy. Por lo tanto, el imaginario radio es la parte principal del juego.
Necesitamos un poco de razón obvia, al menos para el primer polinomio no para desaparecer de allí y podemos encontrar: aviso que extraño poderes son imaginarios e incluso queridos real. Así, la única oportunidad de cero es tener tanto $z^3+2z=0$ $z^4+4z^2+3=0$ simultáneamente. Sin embargo, si $z^2=2$ o $0$, la segunda expresión es un entero impar.
Esto sugiere mantener las raíces de la primera expresión y la segunda expresión intacta, es decir, a tomar la homotopy $f_t(z)=z^4+4z^2+3+t(z^3+2z)$.
$f_1$ es lo que necesitamos y $f_0(z)=z^4+4z^2+3$ es un biquadratic polinomial, cuyas raíces son triviales a encontrar, ya que factores como $(z^2+1)(z^2+3)$. Por desgracia, tiene 4 raíces a la derecha en el eje imaginario, por lo que no puede ser utilizado directamente en la manera formal.
Afortunadamente, hemos aprendido lo suficiente en el proceso para hacer efectiva giro del argumento y el final. Nuestro polinomio es $(z^2+1)(z^2+3)+z(z^2+2)$ y podemos hacer cualquier homotopy $(z^2+a(t))(z^2+c(t))+q(t)z(z^2+b(t))$ que mantiene a $0<a(t)<b(t)<c(t)$ $q(t)>0$ todo el camino.
Ahora sólo tenga en cuenta que $g(z)=z^4+6z^2+1+4z(z^2+1)$ tiene la misma estructura debido a $z^4+6z^2+1$ tiene dos raíces reales con producto $1$, lo que ambos deben ser negativo, por lo que factores como $(z^2+a(t))(z^2+c(t))$$a(t)<b(t)=1<c(t)$. Ya que continuamente se puede mover a cualquier triple de números positivos en cualquier otro triple ordenan de la misma manera, sin violar el orden en el camino (el trivial lineal homotopy ya va a hacer el truco), podemos ver que nuestro primer polinomio tiene tantas raíces en el primer cuadrante como $g(z)$. Pero $g(z)=(z+1)^4$, por lo que no tenemos que pensar demasiado acerca de su número de raíces en el primer cuadrante.
Como consecuencia, tenemos un sencillo "humanos a disposición" de la prueba para determinar cuándo un 4 º grado monic polinomio con coeficientes reales tiene todas sus raíces en la mitad izquierda del plano -. Los coeficientes debe, claramente, ser positivo (incluso en cada factor cuadrático) y después de que todo depende de la orden de $a,b,c$ en la anterior notación.
