Reducción del orden y pérdida en aritmética

Question

$4x^2y''+4xy'+(4x^2-1)y=0, x>0, y_1(x)=\frac{1}{\sqrt(x)}sinx$

Vale, estoy tan perdido en la aritmética de este problema.

$y_2(x)= u(x)\frac{sinx}{\sqrt(x)}$ obviamente, pero me pierdo tratando de encontrar la próxima ecuación diferencial. Supongo que no tiene sentido calcular $y_2'(x)$ o $y_2''(x)$ porque eso podría ser donde me equivoque, lamentablemente.

Answer 1

Sugerencias:

Un enfoque más simple podría ser escribir $y_2'(x)$ de la siguiente manera:

$$\dfrac{d}{dx}\left(u ~\sin x~ x^{-1/2}\right)$$

Ahora simplemente aplicamos la Regla del Producto tres veces, obteniendo:

$$\tag 1 \dfrac{u'~\sin x}{x^{1/2}}+\dfrac{u~ \cos x}{x^{1/2}}-\dfrac{u~\sin x}{2 x^{3/2}}$$

Repitiendo este proceso nuevamente (escribe los tres como productos) para encontrar $y_2''(x) = \dfrac{d}{dx}~(1)$ obtenemos:

$$\dfrac{u''~\sin x}{x^{1/2}}-\dfrac{u'~\sin x}{x^{3/2}}+\dfrac{2~u'~\cos x}{x^{1/2}}+\dfrac{3~u~\sin x}{4 x^{5/2}}-\dfrac{u~ \cos x}{x^{3/2}}-\dfrac{u~ \sin x}{x^{1/2}}$$

¿Puedes continuar con la Reducción de Orden (ver ejemplos)?

Actualización:

$4x^2 y''$ da como resultado:

$$\dfrac{4 x^2 \sin x~ u''+8 x^2 \cos x~ u'-4 x \sin x~ u'-4 x^{3/2} ~u ~\cos x+3~ u~ \sin x}{\sqrt{x}}$$

$4 x y'$ da como resultado:

$$\dfrac{2 (2 x \sin x~ u'-u \sin x + 2 x~ u~ \cos x)}{\sqrt{x}}$$

$(4x^2 - 1)y$ da como resultado:

$$\dfrac{4 x^2 u \sin x-u \sin x}{\sqrt{x}}$$