Campo de característica prima

Question

Supongamos que $F$ es un campo de característica $p$ y sea $f(x) = x^p - a \in F[x]$. Demuestra que $f$ es irreducible sobre $F$ o $f$ se descompone en $F$.

Bueno, mi solución sería ya que $Char F = p$, entonces $(x - a^{1/p})^p = x^p - a$. Por lo tanto, $f$ se descompone en $F$. ¿Es eso correcto?

Answer 1

Sea $\alpha$ una raíz de $f$ en algún campo de descomposición, entonces $\alpha ^p=a$. Así que tenemos $$f(x)=x^p-a=x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p$$ Ahora supongamos que $f=g_1\cdots g_k$ sea una factorización de $f$ en $F[x]$ en factores irreducibles mónicos $g_i$. Entonces cada $g_i$ es el polinomio mónico minimal de $\alpha$ sobre $F$. Por lo tanto, $\deg (g_i)|p$ para cada $i$. Esto muestra que o bien $k=1$ y $f=g_1$ en cuyo caso $f$ es irreducible, o $g_i(x)=x-\alpha$ para todo $i$ y entonces $f$ se descompone sobre $F$.

Answer 2

Es correcto para cada $a\in F$ cuando $F$ es un campo perfecto.

Answer 3

Está claro que $f$ se divide en cualquier extensión de $F$ en la que tenga una raíz. Supongamos que no tiene una raíz en $F$, es decir, que $a$ no es una potencia $p$ en $F$, y sea $K$ un campo que contiene una raíz $\alpha$ de $f$, entonces $\alpha^p=a$. Sea $g$ un factor irreducible mónico de $f$ en $F[x]$. Dado que $f(x)=(x-\alpha)^p$ en $K[x]$, debemos tener $g=(x-\alpha)^r$ para algún $r$ entre 1 y $p$. De hecho, dado que $\alpha \notin F$, $r>1$ y, asumiendo que $f$ no es irreducible, debemos tener $\deg(g)