Convergencia puntual de una secuencia de polinomios

Question

Considera la función identidad $f(x) = x$ y sea $\{h_n;n \in \mathbb{N}\}$ una secuencia de polinomios definidos en $[0,a]$ con algún $a<1$ fijo, y que tienen la forma $h_n(x) = \sum_{i=1}^n c_{i,n} x^i$ donde $c_{i,n}$ es el coeficiente $i$-ésimo en el $n$-ésimo polinomio $h_n$. Además, asumimos que:

(1) $0 \leq h_n(x) \leq x$ y $h_n(0) = 0$ para cada $n$;

(2) cada $h_n$ es monótonamente creciente;

(3) $\lim_{n \to \infty} h_n(x) = x$ uniformemente para todo $x \in [0,a]$.

A partir de (1) sabemos que $c_{1,n} = h_n'(0) \leq x'|_{x=0} = 1$ para cada $n$. Mi pregunta es: ¿de las condiciones (1), (2) y (3), es necesariamente cierto que $\lim_{n \to \infty} c_{1,n} = 1$? Si impongo la condición adicional $\sup_{n \in \mathbb{N}} \{\sum_{i=2}^n |c_{i,n}|\} < M$ para alguna constante absoluta $M > 0$, entonces la afirmación es verdadera. Pero esta es una condición demasiado estricta. Sin embargo, no estoy seguro de si la afirmación es verdadera incondicionalmente. Si no lo es, ¿cuál podría ser un conjunto mínimo de condiciones que necesito imponer? Muchas gracias.

Answer 1

No. Para $\epsilon>0$, sea $d_\epsilon(x)=\epsilon$ para $x\leq\epsilon$, $d_\epsilon(x)=1-\epsilon$ para $x\geq 2\epsilon$, e interpole linearmente en $[\epsilon,2\epsilon]$. Según el teorema de aproximación de Weierstrass, sea $p_\epsilon$ un polinomio que aproxima uniformemente a $d_\epsilon$ dentro de $\epsilon/2$ en $[0,a]$, y sea $q_\epsilon$ la antiderivada de $p_\epsilon$ con $q_\epsilon(0)=0$. Observa que $q_\epsilon$ cumple las condiciones (1) y (2) (puesto que $p_\epsilon$ siempre está entre $\epsilon/2$ y $1-\epsilon/2$), y $q_\epsilon(x)\to x$ uniformemente en $[0,a]$ a medida que $\epsilon\to 0$. Sin embargo, $q_\epsilon'(0)=p_\epsilon(0)\to 0$ conforme $\epsilon\to 0$.

En particular, entonces, podemos elegir una secuencia $\epsilon_k\to 0$ para la cual los polinomios $q_{\epsilon_k}$ tienen un grado creciente, y tomarlos como una subsecuencia de tu secuencia $(h_n)$. Entonces $c_{1,n}$ no convergerá a $1$ ya que converge a $0$ en una subsecuencia.