Polinomio de Maclaurin de $\ln(\cos(x))$

Question

Quiero escribir el polinomio de Maclaurin de grado 6 de $\ln(\cos(x))$. Me cuesta entender lo que necesito hacer, y mucho menos explicar por qué es verdadero de forma rigurosa.

Las expansiones conocidas de $\ln(1+x)$ y $\cos(x)$ son:

$$\forall x \gt -1,\ \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{k} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_{k}(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+R_{3}(x)$$ $$\cos(x)=\sum_{n=0}^{k} (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + T_{2k}(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+T_{4}(x)$$

Escribir $\ln(1+x)$ con $t=x-1$ nos da:

$$\forall t \gt 0,\ \ln(t)=\sum_{n=1}^{k} (-1)^{n-1}\frac{(t+1)^n}{n} + R_{k}(t)$$

Pero ahora estoy perdido.

• ¿Simplemente 'enchufo' la expansión de $\cos(x)$ en $\ln(t)$? ¿Puedo hacer eso?
• ¿No es un problema que $\ln(x)$ no esté definido para $x\leq 0$ pero $|\cos(x)| \leq 1$?

Answer 1

Otra forma de resolver el problema es darse cuenta de que

$$ \frac{d}{dx}\ln(\cos x)=-\tan x $$

Y así la serie será simplemente $\ln(\cos 0)=0$ más una serie ligeramente ajustada para $-\tan x$. Esto también puede ayudarte a ver que la serie es válida, ya que la estás calculando de la forma correcta.

Answer 2

La serie de MacLaurin de $f(x)$ está dada por

$$f(x)= f(0)+f^{\prime}(0)x + \frac{ f^{\prime \prime }(0)}{2!}x^2 + \frac{ f^{\prime \prime \prime}(0)}{3!}x^3 + \cdots $$

y así necesitas calcular los valores de $f(0),f^{\prime}(0),\ldots$ para tu función $f(x)=\log( \cos x).$

Tenemos $$\begin{align} f(x) &= \log( \cos x ) \quad \textrm{ y entonces } f(0)=0, \\ f^{\prime}(x) &= - \tan x \quad \textrm{ y entonces } f^{\prime}(0)=0, \\ f^{\prime \prime }(x) &= - \sec^2 x \quad \textrm{ y entonces } f^{\prime \prime }(0)=-1. \end{align}$$

Solo sigue diferenciando y evaluando las derivadas en $x=0$ hasta llegar al término en $x^6 .$

Vale la pena señalar que dado que $\sec^2 = 1 + \tan^2 x$ podemos facilitar la evaluación escribiendo

$$f^{ \prime \prime }(x)=-1-f^{\prime}(x)^2$$

y así, usando la regla de la cadena,

$$f^{ \prime \prime \prime }(x)=-2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x),$$

y así poniendo $x=0$ tenemos $f^{ \prime \prime \prime }(0)=0.

Diferenciando nuevamente obtenemos

$$f^{(4)}(x)=-2f^{ \prime \prime }(x)^2-2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime \prime}(x)$$

y así $f^{(4)}(0)=-2,$ y así sucesivamente...

Answer 3

Creo que la idea de Joe Johnson es buena:

$$ \frac{d}{dx} \ln\cos x = -\tan x $$

más el conocimiento de la serie de Taylor para la tangente,

$$ \tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \ , \qquad \text{para} \qquad x \in (-\pi/2 , \pi/2) $$

(aquí, $B_s$ son los números de Bernoulli) te da todo:

$$ \ln\cos x = C - \int \tan x dx = C - \int \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} dx = C - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{2n(2n)!}x^{2n} $$

Ahora, tomando $x = 0$ en ambos lados, obtenemos $C = 0$, entonces

$$ \ln\cos x = - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{2n(2n)!}x^{2n} \ , \qquad \text{para} \qquad x \in (-\pi/2 , \pi/2) \ . $$

Answer 4

Dado que conoces el polinomio de $\ln(1+t)$ y sabes que $\cos(x)= 1 + (-\frac {x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+x^4\epsilon(x))$ entonces puedes "sustituirlo" en el polinomio de $\ln(1+t)$. Ahora tienes que $\ln(\cos(x)) = P(x) + R(x)$ donde P es un polinomio y R es el error tal que $\lim _{x\rightarrow 0} \frac{R(x)}{x^k} = 0$ y $k=grado(P)$.

Cada función que tiene un polinomio de Taylor en realidad tiene un polinomio único (para un grado fijo). Si $f(x)=P_1 (x) +x^k \epsilon_1 (x) = P_2 (x)+x^k \epsilon_2 (x)$ son dos representaciones, entonces tomando el límite cuando x tiende a 0 muestra que $P_1 (0)=P_2 (0)=a_0$. Resta $a_0$ de ambos lados, divide por x, y nuevamente toma el límite cuando x tiende a 0 para ver que los coeficientes de x en $P_1$ y $P_2$ son iguales, y continúa esto por inducción.

Esto muestra que el polinomio que encontraste es el polinomio de Taylor.

En tu caso, cuando x está cerca de cero, entonces $\cos(x)$ está cerca de 1, por lo que $\ln(\cos(x))$ está bien definido.

Answer 5

¿Has intentado empezar desde la definición de la serie de MacLaurin (por ejemplo, como se define aquí: http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html)?