Versión de optimización de la ecuación de Sylvester

Question

La ecuación de Sylvester es una ecuación matricial de la forma $AX-XB=C,$ donde $A,B,C$ son matrices dadas de dimensión $m\times m,n\times n$ y $m\times n$ y $X$ es una matriz desconocida de dimensión $m\times n.$ Es un hecho bien conocido que la ecuación tiene una solución única si y solo si las matrices $A$ y $B$ tienen un espectro disjunto. Si no tienen un espectro disjunto, entonces el resultado en general depende de $C.

Mientras determinaba la perturbación de los autovalores en ciertos contextos, naturalmente me atrajo el problema de determinar el mínimo, $min_{X}||AX-XB-C||,$ donde $||.||$ es la norma de Frobenius. Claramente, si el espectro de $A$ y $B$ es disjunto, entonces hay una elección de $X$ para la cual la norma es cero. De lo contrario, necesitamos recurrir a ciertas técnicas de optimización. Un enfoque podría ser vectorizar las matrices usando productos de Kronecker y determinar el mínimo de un sistema lineal.

El problema es: "¿Cuál es la elección de $X$ para la cual la norma $||AX-XB-C||$ alcanza el mínimo (si existe) cuando los espectros de $A$ y $B$ no son disjuntos?"

No he encontrado literatura sobre discusión acerca de problemas similares. Estaría muy agradecido por cualquier referencia o sugerencia en esta dirección.

Answer 1

Primero recordemos dos ideas básicas.

Lema. Sea $A$, $B$, $C$ arbitrarios; entonces, $\text{vec}(ABC) = (C^T \otimes A)\text{vec}(B)$, donde $\otimes$ denota el producto de Kronecker y $\text{vec}(\cdot)$ denota el operador 'vec' que apila columnas de una matriz para obtener un vector largo.

Notación. Para cualquier matriz $Z$, denotaré con su versión en minúsculas $z$ al vector $\text{vec}(Z)$.

Ahora observemos que $\|X\|_F^2 = \text{trace}(X^TX) = x^Tx$. Así, (también básicamente notado por el OP) podemos reescribir el problema de optimización como

\begin{equation*} \min_x \|Hx-c\|^2, \end{equation*} donde $H = I \otimes A - B^T \otimes I$.

Esta ecuación puede o no tener una solución única, pero el único vector de mínima norma $x$ que lo resuelve está dado por $x=H^+c$, donde $H^+$ es la pseudo-inversa de Moore-Penrose de $H$. Así, claramente, el problema de optimización tiene una solución, lo cual responde a la pregunta planteada.

Por supuesto, debido al gasto numérico de calcular la solución anterior (a través de la SVD truncada de $H$) podría ser muy alto. El OP podría estar interesado en consultar la literatura de análisis numérico sobre cómo lidiar con un caso así.

Answer 2

En lugar de minimizar la norma, la siguiente nota propone una conjetura sobre la minimización de la fila de $AX-XB-C$.

M. Lin, H. Wimmer, La ecuación de la matriz generalizada Sylvester, minimización de la fila y el teorema de equivalencia de Roth, Bull. Aust. Math. Soc. 84 (2011) 441-443. http://www.math.uwaterloo.ca/~m29lin/LW2011.pdf