Correlación de dos procesos que resuelven un sistema de EDS.

Question

Sea $S_t$ y $Y_t$ soluciones al siguiente sistema de EDE bidimensional

$$ \mathrm{d}S_t=S_t\mu(t,S_t,Y_t)\mathrm{d}t+S_t\sigma(Y_t)\left(\sqrt{1-\rho^2(t,S_t,Y_t)}\mathrm{d}W_t^1+\rho(t,S_t,Y_t)\mathrm{d}W_t^2\right)\\ \mathrm{d}Y_t=m(t,S_t,Y_t)\mathrm{d}t+v(t,S_t,Y_t)\mathrm{d}W_t^2$$

donde $W^1_t$ y $W_t^2$ son dos movimientos brownianos estándar independientes y $\mu, \sigma,m,v$ funciones determinísticas tales que existe una solución única a la EDE. En mis notas dice que $\rho(t,S_t,Y_t)$ es el proceso de correlación de $S_t$ y $Y_t$. ¿Eso significa que $\mathrm{corr}(S_t,Y_t)=\rho(t,S_t,Y_t)$? Y si es así, ¿cómo obtengo este resultado si $S_t$ y $Y_t$ solo se dan de forma implícita?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

La cantidad $\rho(t, S_t, Y_t)$ es la correlación instantánea o local, que se puede definir por $$d\langle S, Y\rangle_t/dt,$$ o $$corr(S_{t+\Delta}|{\mathscr{F}_t}, Y_{t+\Delta}|{\mathscr{F}_t}),$$ a medida que $\Delta\rightarrow 0$.

Por otro lado, la cantidad $corr(S_t, Y_t)$ es la correlación de los valores a término $t$ $S_t$ y $Y_t$, que usualmente se llama correlación a término.