Dimensión de la suma de tres subespacios

Question

Sabemos que $$\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)$$ si $U_1$ y $U_2$ son subespacios de dimensión finita.

Para tres subespacios de dimensión finita, prueba o proporciona un contraejemplo para lo siguiente:

$$ \begin{align} \dim(U_1 + U_2 + U_3) &= \dim U_1 + \dim U_2 + \dim U_3 \\ &- \dim(U_1 \cap U_2) - \dim(U_2 \cap U_3) - \dim(U_1 \cap U_2)\\ &+ \dim(U_1 \cap U_2 \cap U_3) \end{align}$$

Básicamente es la fórmula para la unión de tres conjuntos. Creo que esto es falso, pero la única razón que se me ocurre es porque la unión de subespacios raramente es un subespacio en sí mismo, aunque se aplique a conjuntos, por lo que me parece que esta fórmula que funciona para conjuntos no debería funcionar para subconjuntos porque interrumpiría elementos superpuestos de $U_1 + U_2 + U_3$ y entraría en complicaciones con la suma siendo cerrada bajo la adición o algo así. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

Answer 1

Este es el contraejemplo dado por Willie Wong en una publicación en mathoverflow con esta pregunta:

Consideremos $3$ líneas distintas que pasan por el origen en $\mathbb{R^2}$ como $U_1$, $U_2$ y $U_3$.

Entonces el lado izquierdo de la ecuación se convierte en $$\mathrm{Dim}(U_1+U_2+U_3)=\mathrm{Dim}(\mathbb{R^2})=2,$$ mientras que el lado derecho de la ecuación se convierte en

$$\mathrm{Dim}(U_1)+\mathrm{Dim}(U_2)+\mathrm{Dim}(U_3)-\mathrm{Dim}(U_1\cap U_2)-\mathrm{Dim}(U_1\cap U_3)-\mathrm{Dim}(U_2\cap U_3)+\mathrm{Dim}(U_1\cap U_2\cap U_3)\\=3\mathrm{Dim}(\mathbb{R})-3\mathrm{Dim}(\{0\})+\mathrm{Dim}(\{0\})=3,$$

y como $2\ne3$ esta ecuación no se cumple.

Answer 2

Eso no es cierto. Sin embargo, para 3 espacios linealmente independientes, es cierto, y puede generalizarse mediante el principio de inclusión-exclusión, a cualquier número finito de espacios.