$R$ es un anillo conmutativo con identidad. Probar: Todos los divisores de cero de $R$, incluido el cero, contienen al menos un ideal primo.

Question

Supongamos que $A=\{ x \mid x \text{ es un divisor de cero}\}\cup\{ 0\}.$
Sean $a,b\in A$.
Sea $P$ un ideal de $A$, es decir $P\trianglelefteq A$.

Ahora es necesario demostrar que: primero, $P\ne A$. Segundo, $ab\in P\Rightarrow a\in P \vee b\in P

.

Pero la pregunta es ¿cómo? He realizado algunos movimientos, ¿pero cuál es tu idea? Por cierto, ¿es correcto el método en absoluto?

Answer 1

Utilice el Lema de Zorn para construir un ideal maximal $M$ dentro de $J$, donde $J$ es el conjunto de divisores de cero y 0. Y argumente que la maximalidad de $M$ garantiza su primariedad. En general, un ideal maximal con respecto a evitar un conjunto multiplicativo es primo.