¿Existe una regla para calcular df(u(x), v(x) / dx?

Question

Tengo dos funciones: $ u(x) $ y $ v(x) $.

Tengo otra función: $ f(u, v) $.

Quiero encontrar: $ \frac{\operatorname df}{\operatorname dx}$.

¿Existe una regla que sea así?

$$ \frac{\operatorname df}{\operatorname dx} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\operatorname du}{\operatorname dx} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\operatorname dv}{\operatorname dx} $$

En caso afirmativo, ¿cómo se llama esta regla y cómo puedo demostrar esta relación?

En caso negativo, ¿cuál es la regla correcta para calcular lo que deseo?

Answer 1

Nota rápida, aquí está la declaración adecuada y una buena demostración de la regla de la cadena si eso es lo que querías encontrar.

Como señaló Vim en tus comentarios, esta es la regla de la cadena. Siempre lo he pensado como un árbol que quizás te ayude a entenderlo más rápido.

Por ejemplo, considera la función $F\bigg(x\big(u(t),v(t)\big),y,z(t)\bigg)$. Esto corresponde al siguiente árbol:

Como ves, el hijo de cada vértice representa su "entrada". Quizás quieras encontrar $\dfrac{dF}{dt}$. Comienzas en la raíz $F$ y luego te mueves por las aristas hacia tu objetivo $t$. Ahora, nota que nuestro objetivo aparece varias veces en este árbol, por lo que los caminos que podríamos tomar son:

$$\begin{cases} \ F \to x \to u \to t \\ \ F \to x \to v \to t \\ \ F \to z \to t \end{cases}$$

Ahora, considera solo el primer caso anterior de $$F \to x \to u \to t.$$ Si el vértice en el que te encuentras tiene más de un hijo, escríbelo como una parcial del vértice en el que estás con respecto al vértice al que vas. Si solo tiene un hijo, entonces no uses parciales. Por último, multiplica todos los pasos juntos.

Entonces, por ejemplo, nuestro primer paso es $F \to x$. El vértice $F$ tiene más de un hijo, por lo que escribimos $\dfrac{\partial F}{\partial x}$. Seguido por $x \to u$ que proporciona $\dfrac{\partial x}{\partial u}$. Por último, el paso $u \to t$ se nota como $\dfrac{d u}{d t}$. En definitiva, para el primer caso obtenemos $$\dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{d u}{d t}.$$

Ahora, como estamos haciendo $\dfrac{dF}{dt}$, si ese fuera el único vértice $t, habríamos terminado y $\dfrac{dF}{dt}$ sería la expresión anterior. Pero hay dos casos más, así que hagámoslos. Espero que veas el patrón, así que aquí están inmediatamente:

$$\dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{d v}{d t}$$

$$\dfrac{\partial F}{\partial z} \dfrac{d z}{d t}$$

El paso final es sumar nuestros casos juntos. Así que tenemos lo siguiente:

$$\dfrac{dF}{dt} = \dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{d u}{d t} + \dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{d v}{d t} + \dfrac{\partial F}{\partial z} \dfrac{d z}{d t}.$$