¿Por qué "No se pueden construir más que una cantidad contable de variables aleatorias independientes"?

Question

Estoy leyendo el libro "Large Networks and Graph Limits" de László Lovász. En la página 18 él dijo lo siguiente:

No se pueden construir más que un número contablemente infinito de variables aleatorias independientes (de manera no trivial, ninguna de ellas concentrada en un solo valor).

Pero no puedo entender por qué es imposible, necesito tu ayuda.

Answer 1

"Teoría de Procesos Estocásticos", Gusak et al., Springer, 2010:

Problema 1.10:

Demuestre que es imposible construir en el espacio de probabilidad $\Omega = [0, 1]$, $\mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1])$, $\mathsf{P}=\lambda$ una familia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas $\{\xi_t, t\in[0,1]\}$ con una distribución no degenerada.

($\lambda$ denota la medida de Lebesgue unidimensional restringida a $[0,1]$.)

Solución (también de ese libro):

La estrategia de la prueba consiste en derivar una contradicción a la separabilidad de $L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})$.

Suponga que tal familia existe. Debido a que la distribución de $\xi_t$ es no degenerada para cada $t\in[0,1]$, existe un conjunto $A\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ tal que para algún (y, debido a la suposición de distribución idéntica, para cada) $t\in[0,1]$ tenemos $\mathsf{P}(\xi_t\in A)\in(0,1)$.

Para cualquier $[0,1]\ni s\neq t$, la distancia en $L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})$ entre $\mathbf{1}\{\xi_t\in A\}$ y $\mathbf{1}\{\xi_s\in A\}$ es igual a alguna constante $c_A>0; por lo tanto, el espacio $L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})$ no es separable.

Answer 2

Le envié un correo electrónico al Profesor Lovasz respecto a esta pregunta, y aquí está el resumen de su respuesta:

Sólo queremos considerar colecciones de variables aleatorias independientes con una distribución condicional regular.

Esto requiere el teorema de Extensión Ionescu-Tulcea, que es más restrictivo y solo se cumple para un número contable de variables aleatorias, a diferencia del Teorema de Extensión de Kolmogorov, que permite construir un número no contable de variables aleatorias independientes en cualquier espacio medible con una topología de Hausdorff.

Como (casi) en todo el libro asumimos que el espacio de probabilidad subyacente es estándar (es decir, tiene una distribución condicional regular). En espacios de probabilidad no estándar, se pueden construir gráficos "cuasialeatorios", donde los vecindarios de los nodos son eventos independientes. Este es un caso especial de la construcción en la Sección 11.3.2.