Función de Hilbert de dos rectas no intersectantes en $\mathbb{P}^3$

Question

Se nos pide calcular la función de Hilbert de dos líneas no intersectantes en $\mathbb{P}^3$. No estoy seguro de por dónde empezar aquí. Cualquier pista o incluso un esbozo de una solución completa sería muy apreciado.

En general, ¿cómo podemos encontrar la función de Hilbert de líneas en el espacio proyectivo de dimensiones arbitrarias? Estaba pensando en encontrar un ideal que genere las líneas y luego calcular la función normalmente contando el número de monomios en el anillo de coordenadas pero que no estén en el ideal. ¿Cuál es la forma más eficiente de hacer esto? Avísame si necesitas más contexto.

Answer 1

Llevemos las dos líneas a ser $ x=y=0 $ y $ z=w=0 $ sin pérdida de generalidad. (El caso general es exactamente el mismo) Entonces el ideal de las dos líneas es $ J = (xz,xw,yz,yw) $ y ahora contemos los monomios de grado $ d $ en $ \mathbb{C}[x,y,z,w]/J $ como sugeriste. Los únicos monomios que sobreviven son $ x^d, y^d, z^d, w^d $ y $ x^ay^b, z^aw^b $ con $ a+b = d, a,b > 0 $. Esto da un total de $ 4 + 2(d-1) = 2d+2 $. Entonces el polinomio de Hilbert es $ p(t) = 2(t + 1) $ que es la respuesta correcta porque es el doble del polinomio de Hilbert de una línea.