Si $G$ es un grupo finito y $A$ es un subgrupo de $G$ tal que todos los dobles cosets $AxA$ tienen el mismo número de elementos, demuestra que $gAg^{-1}=A$ para todo $g \in G.
Aquí está mi intento, supongo que es correcto pero por favor verifícalo. Busqué este problema en internet pero no lo encontré en ningún lado, así que pensé que sería una buena idea tener una respuesta para esto en MSE:
Sabemos que para $x,y \in G$ tenemos $|AxA|=|AyA|$ por hipótesis del problema.
En particular, para cualquier $g \in G$ tenemos $|AgA|=|AeA|=|AA|=|A$. En otras palabras, todos los dobles cosets $AgA$ tienen el mismo número de elementos que $A$ para cualquier $g \in G.
Ahora, usamos la siguiente fórmula de conteo:
$$|AxB|=\frac{|A||B|}{|A \cap xBx^{-1}|}$$
con $A=B$ y $ \forall g \in G:|AgA|=|A|$ obtenemos:
$$ |A| = \frac{|A||A|}{|A \cap gAg^{-1}|} \implies |A \cap gAg^{-1}|=|A| $$
Pero $A \cap gAg^{-1} \subseteq A$ y como $G$ es finito y $|A \cap gAg^{-1}|=|A|$ esto fuerza a $A \cap gAg^{-1} = A$.
Esto implica que $A \subseteq gAg^{-1}$ para cualquier $g \in G$, lo cual es lo mismo que $g^{-1}Ag \subseteq A$ para cualquier $g \in G y esto prueba la normalidad de $A$ en $G. Q.E.D.
