Deje que $A$ sea invertible, demuestre que existen constantes positivas $c_1$ y $c_2$ tales que $c_1X^tX\leq X^tA^tAX\leq c_2X^tX$

Question

Sea $A$ una matriz invertible de $n \times n$ sobre $\mathbb{R}$, demuestra que existen constantes positivas $c_1$ y $c_2$ tales que $$c_1X^tX\leq X^tA^tAX\leq c_2X^tX $$ para todo $X \in \mathbb{R^{n\times 1}}$

Si consideramos el producto interno estándar en $\mathbb{R^{n\times 1}}$ : $$\=X^tY \ \ \ \ \ \ \forall X,Y \in \mathbb{R^{n\times 1}}$$ Se nos pide demostrar que $$c_1||X||^2 \leq ||AX||^2 \leq c_2 ||X||^2$$ Es un poco como preguntar cuánto puede aumentar o reducir $A$ la longitud de los vectores en $\mathbb{R^{n\times 1}}$. Si el campo fueran los números complejos, entonces estaríamos seguros sobre la existencia de autovalores y podríamos usar los autovalores como factores de escala de los vectores. ¿Cómo se puede utilizar el hecho de que $A$ sea invertible en este problema ?

Aprecio de antemano sus comentarios/respuestas útiles.

Answer 1

Considera $B = A^tA$; es una matriz simétrica definida positiva; por el teorema espectral existe una base ortonormal formada por los eigenvectores de $B$, que denotamos por $(V_1,\ldots,V_n)$ y denotamos por $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ los correspondientes eigenvalores ($BV_i = \lambda_iV_i$). Ahora, sea $X \in \Bbb R^{n \times 1}$, existen $x_1,\ldots,x_n \in \Bbb R$ tales que $X = x_1V_1 + \ldots + x_nV_n$, entonces $BX = x_1\lambda_1V_1 + \ldots + x_n\lambda_nV_n$, por lo que $X^tBX = \lambda_1x_1^2 + \ldots + \lambda_nx_n^2$, así que $\min(\lambda_i)\|X\|_2^2 \leq X^tBX \leq \max(\lambda_n)\|X\|_2^2$.