$C_p(X)$ es un subespacio denso de $\Bbb R^X$

Question

La topología de $C_p(X)$ ($C(X,\Bbb R)$ con la topología de convergencia puntual) coincide con la topología inducida en $C(X, \Bbb R)$ a partir del producto de Tychonoff $\Bbb R^X$, es decir, $C_p(X)$ es un subespacio de $\Bbb R^X.

Ahora, si $X$ es un espacio de Tychonoff, puedo mostrar que $C_P(X)$ es denso en $\Bbb R^X$. ¿Es cierta esta afirmación?

$C_p(X)$ es denso en $\Bbb R^X$ para cualquier espacio topológico $X$.

Answer 1

Para mostrar que $C_p(X)$ es denso, se desea encontrar una función continua tal que para un número finito dado de puntos tome valores en conjuntos abiertos prescritos. Esto se puede hacer para $X$ Tychonoff pero no en general. Para $X$ indiscreto, $C_p(X)$ son solo funciones constantes. Más generalmente, si $X$ contiene dos puntos que no pueden ser funcionalmente separados entonces cualquier $f ∈ C_p(X)$ debe tomar el mismo valor en esos puntos y por lo tanto $C_p(X)$ no es denso. Por lo tanto, $X$ tiene que ser completamente Hausdorff.

De hecho, se puede demostrar que ser completamente Hausdorff también es una condición suficiente. Sea $F ⊆ X$ finito y $U_x$ no vacío y abierto en $\mathbb{R}$ para cada $x ∈ F$. Queremos $f ∈ C_p(X)$ tal que $(∀x ∈ F): f(x) ∈ U_x$. De hecho, podemos elegir cualquier $y_x ∈ U_x$ y encontrar $f$ tal que $(∀x ∈ F): f(x) = y_x$. Primero, por completitud Hausdorffiana podemos encontrar una función continua que tome $1$ en $x$ y $0$ en $x'$. Esto se puede hacer para cualquier $x' ∈ F \setminus \{x\}$. El producto de estas funciones toma $1$ en $x$ y $0$ en los otros miembros de $F$. Esto se puede hacer para cualquier $x ∈ F$. La combinación lineal de estas funciones es la función $f$ deseada.

Entonces, $C_p(X)$ es denso en $\mathbb{R}^X$ si y solo si $X$ es completamente Hausdorff.

Answer 2

No es. Considere $X=\{a,b\}$ con la topología trivial. Entonces $C(X,\mathbb{R})$ consiste solo de funciones constantes. Ahora tome $f\in\mathbb{R}^X$ tal que $f(a)=0$ y $f(b)=1$ y considere un entorno abierto de $f$ como $\{a\}\times(-0.5,0.5)\cup\{b\}\times(0.5,1.5)$.