¿Existen enteros positivos $a, b$ con $a\bmod p < b\bmod p$ para todos los números primos $p$?

Question

De esta publicación, si a y b son enteros positivos con $a\bmod p\leq b\bmod p$ para todos los primos p (aquí $a\bmod p$ es el entero único $r,0\leq r < p$ con $r\equiv a\mod p$) entonces $a=b.$ Así que, se me ocurrió la siguiente pregunta:

¿Existen enteros positivos $a,b$ con $a\bmod p < b\bmod p$ para todos los primos $p$?

Creo que la respuesta es no. Por supuesto, solo finitos primos deben ser verificados para verificar si a, b realmente satisfacen la condición. Para resolver el problema, podría ser útil utilizar el teorema de Sylvester-Schur: existe un primo $p>a$ que divide a $b(b+1)\cdots (b+a-1)$ siempre que $b> a > 0.$ También está el postulado de Bertrand. Aunque preferiría que hubiera un enfoque más sencillo para este problema.

Answer 1

No, dejemos que $a$ y $b$ sean dos enteros; entonces ni $a$ ni $b$ pueden ser $1$. Para ver por qué, supongamos que $a=1$, y luego tomemos, por un lado, cualquier primo que divida a $b$, y luego tomemos, por otro lado, cualquier primo mayor que $b$.

Entonces supongamos sin pérdida de generalidad que $1. Luego tomamos, por un lado, cualquier primo que divida a $a$, y luego tomamos, por otro lado, cualquier primo que divida a $b$. [Si se satisface la desigualdad $b-a \ge 2$, entonces también basta con tomar cualquier primo que divida a $b-a$]

Para responder a tu pregunta adicional en los comentarios a continuación, SÍ, existen familias infinitas de $a$ y $b$ tales que $a \pmod p < b \pmod b$ para todos los primos $p$ tal que $(p,b)=1$. De hecho, toma $b$ como cualquier primo al menos $5$ y luego establece $a=b-1$.

• Entonces para cualquier primo $p nota que $b \pmod p \not = 0$, así que [como $a=b-1$]. Entonces sigue que $b \pmod p$ es un entero positivo y por lo tanto las relaciones $a \pmod p$ $= (b \pmod p )-1$ $< b \pmod p$ se cumplen, para todos los primos $p < b$.

• Para cualquier primo $p>b$, la desigualdad estricta $a \pmod p < b \pmod p$ es obvia.

Answer 2

Estás en lo cierto de que la respuesta es no.

Si $b=1$, toma un primo $p>a$. Entonces $a\bmod p=a\not\lt 1=b\bmod p$.
De lo contrario, si $b>1$. Toma un primo $q\mid b$. Entonces $0\le a\bmod q \not\lt 0=b\bmod q$.

Answer 3

Respuesta corta, No.

Prueba:

Primero notamos la necesidad de $a ya que podemos tomar $p>\max\{a,b\}$

Caso 1: Si $gcd(a,b)=1$, y dado que $b\ne 1$ ya que $a, existe un número primo $p$ tal que $p\vert b$ entonces $p\not \vert a$ $$\Rightarrow a\quad (mod\; p)> 0\text{ y } b\quad (mod\; p)=0$$ $$\Rightarrow a\quad (mod\; p)\not< b\quad (mod\; p)$$

Caso 2: Si $gcd(a,b)=k\ne 1$, tomamos un número primo $p$ tal que $p\vert k$ entonces $p\vert a$ y $p\vert b$ $$ \Rightarrow a\quad (mod\; p)= 0\text{ y } b\quad (mod\; p)=0$$ $$\Rightarrow a\quad (mod\; p)\not< b\quad (mod\; p)$$