Acerca de la proporción de las áreas de un pentágono convexo y del pentágono interno formado por las cinco diagonales.

Question

He pensado en la siguiente pregunta por un mes, pero me enfrento a dificultades.

Pregunta: Si $S{^\prime}$ es el área del pentágono interno formado por las cinco diagonales de un pentágono convexo cuya área es $S$, entonces encuentra el máximo de $\frac{S^{\prime}}{S}$.

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

Parece que un pentágono regular y sus imágenes afines darían el máximo. Sin embargo, no tengo ninguna buena idea sin cálculos tediosos. ¿Alguien puede ayudar?

Actualización: He publicado en MO.

Answer 1

Denotemos por $z_i$ $(0\leq i\leq 4)$ los vértices del pentágono grande $Z$ y por $w_i$ los vértices del pentágono pequeño $W$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $$z_0=(0,0), \quad z_2=(1,0),\quad z_3=(0,1)$$ y $$w_3=(a,0), \quad w_4=(b,0),\quad w_1=(0,d),\quad w_2=(0,c)$$ con $$0

Luego se obtiene $$z_1=\left({ba(1-c)\over a-bc}, {c(a-b)\over a-bc}\right),\quad z_4=\left({a(c-d)\over c-ad}, {dc(1-a)\over c-ad}\right),\quad w_0=\left({b(1-d)\over 1-bd}, {d(1-b)\over 1-bd}\right)\ .$$ Esto significa que el espacio de módulos ${\cal M}$ de tales configuraciones hasta la afinidad tiene dimensión $4$. Los valores $a=c={3-\sqrt{5}\over2}\doteq0.381966$ y $b=d={\sqrt{5}-1\over2}\doteq0.618034$ corresponden a pentágonos regulares $Z$ y $W$.

Procesando más, se tiene entonces $$2\>{\rm área}(Z)=1+{(b-a)c\over a- bc}-{a(d-c)\over ad-c}\>,\quad 2\>{\rm área}(W)={bd(2-b-d)-ac(1-bd)\over 1-bd}\ ,\tag{1}$$ y estamos interesados en la cantidad $$t(a,b,c,d):={{\rm área}(W)\over {\rm área}(Z)}\ .$$ Para pentágonos regulares $Z$ y $W$ se tiene $t={7-3\sqrt{5}\over2}\doteq0.145898$.

Las expresiones $(1)$ son lo suficientemente complicadas como para impedir el cálculo de derivadas parciales de $t$. Por otro lado, es fácil ver que $\inf_{\cal M} t(a,b,c,d)=0$. En cuanto al máximo de $t$, simulé $10^7$ configuraciones aleatorias con Mathematica y obtuve el siguiente quintuplo óptimo $(a,b,c,d,t)$: $$(0.383542, 0.619248, 0.381882, 0.618277, 0.14589)\ .$$ Esto respalda la conjetura de que $t$ es máximo para pentágonos regulares.

Answer 2

Una solución completa está disponible en https://arxiv.org/abs/1812.07682

En el polígono determinado por las diagonales cortas de un polígono convexo, Jacqueline Cho, Dan Ismailescu, Yiwon Kim, Andrew Woojong Lee

Answer 3

No es una respuesta completa, y ciertamente no es elegante, pero aquí tienes un enfoque. La idea es considerar "cónicas poligonales" en el sentido siguiente. Toma el cono \(K\) dado por \[ K: \qquad x^2+y^2=z^2 \] y córtalo con el plano \(z=1\). Obtenemos un círculo \(\gamma\), y en este círculo inscribimos un pentágono regular, \(P\) (En realidad, la idea funciona con un \(n\)-gono regular con \(n=2k+1\)... ¿debería llamarse \(n\)-impar?). Las diagonales de este pentágono definen un pentágono más pequeño \(P'\). Sea también \(\gamma'\) el círculo en el cual \(P'\) se encuentra inscrito a su vez.

Sean \(C, C', S, S'\) las áreas de \(\gamma, \gamma', P, P'\) respectivamente. Tenemos \[ \frac{C'}{C} = \frac{S'}{S} \] ya que todas estas áreas dependen solamente de los radios de \(\gamma\) y \(\gamma'\).

Ahora cortemos el cono inicial y el cono \(K'\) generado por el círculo \(\gamma'\) con un plano general \[ (x-x_0)\cos\theta+(z-z_0)\sin\theta = 0 \] (Informalmente, es el plano que pasa por \((x_0,0,z_0)\) y cuyo vector normal yace en el plano \(y=0\) y forma un ángulo \(\theta\) con el eje \(x\).

Obtenemos dos cónicas anidadas. Considerando solamente los casos en los que estas cónicas son elipses, podemos calcular la relación de sus áreas (área de la elipse interna sobre área de la externa) y se encuentra que el máximo de este valor ocurre cuando ambas son círculos.

Cuando solo la cónica interna es una elipse, la relación es cero.

Considerando ahora los "conos pentagonales" obtenidos al extrudir los pentágonos anidados originales a lo largo de los dos conos \(K\) y \(K'\) y razonando de manera similar a antes, llegamos a que la relación entre las áreas de los "conos pentagonales" anidados tiene un máximo cuando los pentágonos son regulares.

Un problema con este enfoque es que no tengo idea de qué clase de pentágonos estamos tratando, ya que podría ser demasiado limitado para ser de interés real para el problema.

ACTUALIZACIÓN: en el caso de un pentágono, dado que cinco puntos en posición general determinan una cónica, supongo que hemos cubierto todos los posibles casos.

Answer 4

Aquí hay una respuesta parcial.

Digamos que el punto C del pentágono grande ABCDE puede moverse libremente, siempre que el área no cambie. Nos preguntamos qué sucede con el área roja.

Entonces, C puede moverse paralelamente a BD. A medida que lo hace, el área roja aumenta en un lado y disminuye en el otro lado, debido a que CA y CE se mueven.

Consideremos CE, y el cambio en el área roja debido solo a CE a medida que C se mueve por $\epsilon$ (paralelamente a BD). El punto donde CE cruza BD se mueve por $k \epsilon$, donde k es la constante ratio $m/n$ de la altura m desde E hasta BD a la altura n desde E hasta la línea de posición de C. De hecho, el cambio en el área es monótono en la distancia s desde B$'$ (la intersección de AD y CE) hasta BD, que a su vez es monótono en la posición de C.

El área del pentágono rojo se ve afectada de esta manera tanto por el cambio en el área debido a CE como por el debido a CA, y por lo tanto se maximiza cuando C está en algún lugar en el medio, y es estrictamente cóncava en la posición de C.

Debido a la simetría del pentágono regular, podemos ver que el área roja es un máximo local en este caso.

La pregunta nos pide demostrar que este es el máximo global, pero supondría un resultado aún más fuerte, que este es el único máximo local, e incluso que el área roja es estrictamente cóncava en las posiciones de los vértices (sujeto al área constante del pentágono grande).

Si pudiéramos demostrar que los movimientos de un solo vértice que conservan el área pueden transformar cualquier pentágono en cualquier pentágono "cercano", sin que ningún vértice se aleje mucho de su posición original, entonces eso probablemente terminaría la prueba de total estricta concavidad. Parece ser verdad, requiriendo movimientos $O(1/\epsilon)$.

Answer 5

La relación de áreas $S'/S$ siempre es $k^2$ donde $$k = {1-\sin(\pi/10) \over 1 + \cos(\pi/5)}.$$ $k$ es la proporción del perímetro del pentágono interno al pentágono externo.

Para ver esto, observe que el pentágono interno parece ser similar al pentágono externo pero girado 180 grados. Suponga que el pentágono externo está inscrito en un círculo unitario. Etiquete los vértices del pentágono regular externo como ABCDE con A en la parte superior. Etiquete los vértices del pentágono interno como abcde pero comenzando con a en la parte inferior. Los triángulos ACD y Acd son similares. Es fácil ver que la altura del triángulo Acd es $1-\sin(\pi/10)$ y la del triángulo ACD es $1 + \cos(\pi/5)$. Por lo tanto, la relación de cd con CD es $k$. Dado que cd y CD son lados de pentágonos regulares, la proporción de perímetros debe ser $k$ y la proporción de áreas debe ser $k^2$.

Dejo la prueba a otros, pero afirmo que lo siguiente son invariantes bajo cualquier transformación afín:

• las líneas paralelas permanecen paralelas;
• la relación de subsegmentos de línea (P,X) y (X,Q) es constante si el segmento de línea (P,Q) es intersectado por X por otro segmento de línea (p,q);
• los polígonos similares permanecen similares; y, como resultado,
• las relaciones de perímetro y área de polígonos similares son constantes.

Los resultados han sido verificados con un script de MATLAB que genera transformaciones afines aleatorias. Puede agregar que estos resultados deberían aplicarse a otros polígonos regulares excepto por el valor de $k$. Por ejemplo, $k = 1/3$ para un hexágono.