Dada una función continua $f: X \to Y$ y una cubierta $p: E \to Y$, ¿cuáles son las condiciones para poder afirmar que existe un levantamiento $g: X \to E$ tal que $p \circ g = f$? ¿Bajo qué condiciones este levantamiento es único para un punto de partida $x_0$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Prefiero responder a esta pregunta usando los gruposoides y la noción de morfismo recubridor de gruposoides: este es un morfismo $q: H \to G$ de gruposoides tal que para cada $e \in Ob(H)$ y $g \in G$ comenzando en $q(e)$ hay un único $h \in H$ comenzando en $e$ tal que $q(h)=g$. Si $p:E \to Y$ es un mapa recubridor, entonces $q=\pi_1(p): \pi_1(E) \to \pi_1(Y)$ es un morfismo recubridor de gruposoides. Una exposición completa de este enfoque está en el Capítulo 10 de Topology and Groupoids (T&G), al igual que en las ediciones de 1968, 1988 (con títulos diferentes) de este libro. Por lo tanto, los morfismos recubridores de gruposoides forman un buen modelo algebraico de mapas recubridores de espacios.
Ahora, dado un mapa $f: X \to Y$ de un espacio conexo por caminos $X$ y puntos $x \in X, e \in E$, $f$ se eleva a un mapa $g : X \to E$ tal que $pg=f$ y $f(x)=e$ si y solo si el morfismo correspondiente de grupos fundamentales $\pi_1(f): \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$ se eleva a un morfismo de gruposoides $\phi: \pi_1(X) \to \pi_1(E)$ tal que $\phi(x)=e$ y (por supuesto) $q \phi= \pi_1(f)$. Además, tal elevación es única. Esto es 10.5.3 de T&G.
Un poco de estudio de las propiedades de los morfismos recubridores también relaciona esta condición de existencia con la condición usual de que $\pi_1(f)$ mapea el grupo fundamental $\pi_1(X,x)$ en la imagen bajo $q$ de $\pi_1(E,e).
(Algunos resultados similares están en el libro "Concise ...." de Peter May, que se refiere a la edición de 1988 de T&G como "idiosincrática"; de hecho, ¡T&G sigue "fuera de línea" en muchos aspectos! Por ejemplo, este enfoque permite responder a la pregunta: ¿qué condiciones locales en un espacio $Y$ son suficientes para que un morfismo recubridor $q: H \to \pi_1(Y)$ sea realizado por un mapa recubridor $p: E \to Y$. Además, May no utiliza el grupoide fundamental en un conjunto de puntos base, y por lo tanto no utiliza gruposoides para determinar el grupo fundamental del círculo!)
