Rompecabezas de matemáticas ecuación diferencial

Question

Perro de raza:

Edit 2:

He publicado una posible respuesta a continuación. Sin embargo, estoy seguro de cómo los autores llegaron a la solución.

Tal vez alguien puede ofrecer una explicación.

Cuatro perros se colocan en las esquinas de un cuadrado de ($d= 1m$), se persiguen unos a otros en sentido horario con la misma velocidad constante . Como su objetivo está en movimiento, que se siga una trayectoria curva, finalmente chocar en el centro de la plaza.

(a) ¿cuál es la longitud total de la ruta acaba de $1 m$?

(b) Encuentre y resuelva una ecuación diferencial para la radio de $r(\theta)$ en coordenadas polares.

Esta es una tarea pregunta! Solo quiero consejos, no hay soluciones por favor.

La parte difícil es establecer una ecuación para la radio yo.e para que el movimiento de uno de los perros. Yo estaba pensando en una ecuación similar a la de una espiral de arquímedes.

$$r(\theta)=a+b\theta \space \space \space \text{or} \space \space \space r(\theta)=a\theta^{\frac{1}{n}}$$

Sin embargo, no tengo idea de lo valores de $a$ o $b$ debe ser. Las sugerencias se agradece.

Edit 1:

Este es mi segundo intento de solución:

Si el Perro 1 se coloca en $(r, \theta)$ $\implies$ Perro 2 se coloca en $(r, \theta+\frac{\pi}{2})$

Imagen:

$$x_1=r \cos (\theta) \\ y_1= r \sin (\theta) \\ \\ \\ x_2=r \cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-r \sin(\theta) \\y_2=r \sin (\theta+\frac{\pi}{2})=r \cos (\theta)$$

Si estos son los dos vectores de posición, entonces el vector que une los dos puntos es mi vector de velocidad.

$$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{r \sin (\theta+\frac{\pi}{2})-r \sin (\theta)}{r \cos (\theta+\frac{\pi}{2})-r \cos (\theta)}=\frac{ \sin (\theta+\frac{\pi}{2})- \sin (\theta)}{ \cos (\theta+\frac{\pi}{2})- \cos (\theta)}=\frac{\cos(\theta)-\sin(\theta)}{- \sin(\theta)-\cos(\theta)}$$

Estoy en el camino correcto? Pero, ¿Cómo puedo deducir $\dfrac{dr}{d\theta}$?

Answer 1

Para la parte (a), usted no tiene que configurar nada, realmente, o configurar las complicadas ecuaciones diferenciales. Todo lo que tienes que hacer es mostrar que, a pensar de sí mismo como uno de los perros, el perro que usted está persiguiendo siempre se está ejecutando en ángulos rectos a la línea de visión y por lo tanto, ya que su velocidad es constante y dirigida directamente a la diana, se están acercando a un constante tasa de -- en resumen, en cuanto al tiempo de adelantar que se trate, el perro que usted está persiguiendo puede que así como no se mueve en absoluto, es decir, que va a coger en el tiempo que se tarda en viajar $1$ medidor.

Answer 2

Aquí es una solución para (b):

Que $$t\mapsto z(t)=r(t)e^{i\phi(t)}\qquad(t\geq0)$$ be the orbit of the dog starting at ${1\over2}(1+i) $. Then the orbit of the dog starting at $ {1\over2} (-1 + i) $ is simply $t\mapsto iz(t) $. It follows that at any moment the velocity vector $$\dot z=(\dot r+i r\dot\phi)e^{i\phi}$$ is parallel to $% $ $iz-z=(-1+i)z=(-1+i)r e^{i\phi}\ .$esto equivale a $ #% de %#% de algunos #% de %#% cambiar con el tiempo. Comparación de las partes imaginarias en $$\dot r+ir\dot\phi=\lambda(-r+ir)\tag{1}$ vemos que de hecho $\lambda>0$, para que de mirando las partes real obtener $(1)$ o $\lambda=\dot\phi>0$ $ se deduce que la función $\dot r=-r\dot\phi$ satisface la ecuación diferencial $${dr\over d\phi}={\dot r\over\dot\phi}=-r\ .$ $ con el % de soluciones $\phi\mapsto r(\phi)$. Esto implica que vemos cuatro espirales logarítmicas.

Answer 3

Primero: no sé cómo hacer este problema de la forma en que se están haciendo. Pero creo que lo puedo hacer este problema a mi manera. Tal vez esto va a ser un indicio suficiente para hacerlo de la forma original.

Vamos a la pista de la parte superior de perro (comienza a $(0,1)$). Deje que su posición en el momento $t$$(x(t),y(t))$. Por simetría, el perro se está persiguiendo es en la posición $$(u(t),v(t)) = (\frac{x(t) + y(t)}{\sqrt{2}},\frac{-x(t) + y(t)}{\sqrt{2}})$ $ , que es sólo la posición original girado 45 grados.

La velocidad de chase es una constante $s$ pero la dirección es de$(x(t),y(t))$$(u(t),v(t))$, por lo que el vector de velocidad es $$(\dot{x}(t),\dot{y}(t)) = s\frac{(u(t)-x(t),v(t)-y(t))}{|(u(t)-x(t),v(t)-y(t))|}$$

Puede usted cambiar a polar coordinantes y tomar desde allí?

Answer 4

Esta respuesta es tomado de Cálculo 10ª Edición por Larson y Edwards

Enlace a la solución: la Solución

Esta es la forma en que se derivan de la ecuación diferencial:

Si un perro se encuentra en $(r, \theta)$ en el primer cuadrante, entonces su vecino es en $(r, \theta+ \frac{\pi}{2})$

$$(x_1,y_1)=(r \cos\theta, r \sin\theta) \\(x_2,y_2)=(-r\sin\theta,r\cos\theta)$$

La pendiente de la unión de estos puntos es

$$\frac{r\cos\theta-r\sin\theta}{-r\sin\theta-r\cos\theta}=\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=\text{slope of tangent line at} (r,\theta)$$

$$\color{}{\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dr}}{\frac{dx}{dr}}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}=\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}}$$ $$\color{blue}{\implies \frac{dr}{d\theta}=-r}$$