Ecuación de una línea en el espacio $\mathbb{R}^3$.

Question

La ecuación de una recta en $ \ \mathbb{R}^2 \ $ se puede expresar de manera concisa como $ \ ay+bx=c \ $. (Y de manera similar, un plano en $ \ \mathbb{R}^3 \ $ se expresa como $ \ ay+bx+cz=d \ $).

He intentado encontrar una forma similar de expresar una recta en $ \ \mathbb{R}^3 \ $ pero no puedo encontrar ninguna. Lo más cercano que encontré fue la ecuación vectorial de una recta, pero es demasiado diferente de $ \ ay+bx=c \ $, y también un poco más complicada.

¿Es correcto pensar que no hay ninguna forma similar de expresar una línea tridimensional de manera general de esta manera? (Disculpa por la vaguedad de la palabra "similar").

Answer 1

Si $f(x, y, z)$ es una función diferenciable (con la derivada satisfaciendo algunas condiciones especiales*) de 3 variables x, y, z (puede terminar no dependiendo de algunas de esas variables), entonces la ecuación $f(x, y, z) = c$ define una "variedad" de 2 dimensiones (piensa en ella como una hoja curva de papel).

En general, si f es una función de n variables, entonces f(esas n variables) = c define una variedad de n-1 dimensiones.

Un plano es una variedad de 2 dimensiones, por eso puedes expresarlo de la forma en que lo hiciste. Una línea es una variedad de una dimensión, por eso no podemos simplemente expresarla con algo como $ax+by+cz=d; necesitamos más ecuaciones para reducir la dimensión de la variedad que define (¡de ahí la formulación vectorial!)

Una buena forma de pensar en las variedades es que el número de variables son los grados de libertad, y el número de ecuaciones son las restricciones, y la dimensión de la forma que estás produciendo es grados de libertad menos restricciones.

Para un plano en el espacio tridimensional, tienes 3 variables y una ecuación. 3-1=2, que es la dimensión de un plano. Para una línea en el espacio tridimensional, tenemos 3 variables, pero una línea es unidimensional, por lo que una ecuación no es suficiente para describirla.

*Si estás interesado, esta "condición especial" es la sobreyectividad. Si tenemos esta propiedad en un punto, entonces el conjunto de puntos es localmente una variedad.

**Si realmente estás interesado, investiga cómo se puede utilizar algo llamado el teorema de la función implícita (que es, entre otras cosas, una forma de expresar la relación entre grados de libertad y restricciones) para definir variedades. Cálculo Vectorial, Álgebra Lineal y Formas Diferenciales por Hubbard & Hubbard ofrece un tratamiento excelente y accesible del tema.

Answer 2

La forma más natural de describir una línea en $\mathbb{R}^3$ como un conjunto de soluciones es usando dos ecuaciones lineales. Es decir, toma dos planos cuya intersección sea tu línea y toma sus ecuaciones. Por lo tanto, cualquier línea en $\mathbb{R}^3$ puede ser descrita por un sistema de ecuaciones de la forma $$ax + by + cz = d$$ $$ex + fy + gz = h.$$

De hecho, es posible combinar estas dos ecuaciones en una sola ecuación, mediante un truco algo artificial. Es decir, se utiliza el hecho de que si $s, t \in \mathbb{R}$ entonces $s = t = 0$ si y solo si $s^2 + t^2 = 0$. En este caso, tomamos $s$ y $t$ para que correspondan a nuestro par de ecuaciones, y así obtenemos una sola ecuación $$(ax + by + cz - d)^2 + (ex + fy + gz - h)^2 = 0$$ cuyo conjunto de soluciones es nuestra línea. (Esta única ecuación generalmente no es más fácil de usar que el sistema de dos ecuaciones, aunque principalmente es de interés para ilustrar que es posible usar una sola ecuación polinómica.)

Answer 3

Aunque existen formas de representar una línea en 3D con una sola ecuación, por ejemplo, como un cuádrico degenerado, no hay forma de representarlo como una sola ecuación lineal. Sin embargo, hay una forma de convertir una ecuación paramétrica para una línea en un sistema de ecuaciones lineales que se pueden escribir de forma concisa.

Permita que la línea esté parametrizada como $\mathbf p + \lambda \mathbf v$. Expanda por coordenadas y resuelva para $\lambda$: $${x - p_x \over v_x} = {y-p_y \over v_y} = {z-p_z \over v_z}.$$ Esto solo funciona si ninguno de los componentes de $\mathbf v$ es cero. Si lo es, entonces necesitará una ecuación separada que establezca el valor de la variable correspondiente como una constante.

Answer 4

Quieres una línea, que por supuesto tomará la forma: $$\left\{\begin{bmatrix}a+b\lambda\\c+d\lambda\\e+f\lambda\end{bmatrix}\mid \lambda\in\Bbb R,\quad a,b,c,d,e,f\in\Bbb R\right\}$$$$=\left\{\begin{bmatrix}a\\c\\e\end{bmatrix}+\lambda\begin{bmatrix}b\\d\\f\end{bmatrix}\mid \lambda\in\Bbb R,\quad a,b,c,d,e,f\in\Bbb R\right\},$$ es decir $x(\lambda)=a+b\lambda, y(\lambda)=c+d\lambda,z(\lambda)=e+f\lambda$

O como ecuaciones simétricas, si $b,d,f$ son todos distintos de cero: $$\frac{x-a}{b}=\frac{y-c}{d}=\frac{z-e}{f}=\lambda$$