¿Cómo tomar la derivada de una función Bézier?

Question

Estoy tratando de averiguar cómo tomar la derivada de la siguiente ecuación cuadrática de Bezier, con respecto a 't' para el conjunto de números entre $0$ y $1$. Entiendo cómo tomar la derivada de ecuaciones básicas, pero esto está resultando confuso.

Esta es la derivada proporcionada por el artículo de wiki sobre curvas de Bezier, pero no puedo determinar cómo la crearon. Sería de ayuda una explicación detallada de los pasos involucrados, o ayuda para encontrar información sobre cómo resolver esta ecuación.

Originalmente pensé que el primer término, $(1-t)^2P_0$, se manejaba como una ecuación simple, multiplicando el exponente por el coeficiente de $(1-t)$, lo que me daba $2(1-t)P_0$. Pero luego comencé a intentar descifrar cómo se manejaba el $P_0$, siendo restado de la variable $P_1$. Obviamente he fallado en eso.

Answer 1

Se hace de forma "natural". Cuando diferenciamos $(1-t)^2$ obtenemos $-2(1-t)$ (olvidaste la Regla de la Cadena, la derivada de $1-t$ es $-1$, de ahí el signo negativo).

Cuando diferenciamos $2(1-t)t$, es decir, $2t-2t^2$, obtenemos $2-4t$. Y por supuesto, al diferenciar $t^2$ obtenemos $2t.

Juntando todo, obtenemos $$(-2+2t)P_0 +(2-4t)P_1+2tP_2.$$ El siguiente paso, para obtener la forma dada en el post original, es separar el término del medio y obtener $$(-2+2t)P_0 +(2-2t)P_1-2tP_1+2tP_2.$$ Estamos casi allí. Los dos primeros términos dan $(2-2t)(P_1-P_0)$, y los dos siguientes dan $(2t)(P_2-P_1)$.

Nota: La separación un poco artificial del término del medio es quizás más natural si diferenciamos $2t(1-t)$ usando la Regla del Producto. Obtenemos $2(1-t)-2t$.