¿Cómo encontrar la distribución condicional de una gaussiana a partir de la matriz de covarianza?

Question

Sé que la distribución condicional de dos gaussianas es gaussiana. Pero ¿cómo captura en la siguiente declaración las distribuciones condicionales?

¿Y qué significa el término "captura" aquí?

Supongamos que X es una variable aleatoria tal que X = ( X1 , X2 , . . . , Xp ) tiene una distribución gaussiana multivariada con vector de media 0 (para conveniencia ) y covarianza , luego =1 captura las distribuciones condicionales de cada X_j dado el resto.

Answer 1

Lo que se quiere decir es simplemente que para variables gaussianas: dependencia = dependencia lineal. En otras palabras, toda la información sobre la dependencia entre dos variables gaussianas está en su covarianza o correlación.

A su vez, si conoces la matriz de covarianza, entonces tienes las varianzas y correlaciones entre cada elemento $X_i$ y los demás: $\rho(X_j, X_j), j \neq i$.

Por último, si tienes variables gaussianas centradas y conoces sus varianzas y correlaciones, puedes escribirlas usando gaussianas independientes que te darán la expresión del valor condicional de una dada las demás.

Tomemos dos gaussianas estándar por ejemplo $(X_1, X_2)$ con una correlación $\rho$. Si quieres la distribución de $X_2 | X_1$ por ejemplo, tienes que:

1. escribir $X_2 = \rho X_1 + \sqrt{1 - \rho^2} X_0$ , con $X_0$ una gaussiana estándar independiente de $X_1$.

2. concluir que $X_2 | X_1$ es gaussiana con media $\rho X_1$ y varianza $1 - \rho^2$.

Esto se extiende a una inversión de la descomposición de Cholesky (también conocida como matriz raíz cuadrada de la matriz de covarianza) en dimensiones superiores.