Editado: ¿Por qué los teoremas en una área de Matemáticas a menudo se convierten en axiomas en otra área?

Question

Estaba leyendo un teorema de "Beals - Análisis una Introducción", sobre cómo dadas dos espacios métricos $(X,d)$ y $(Y,p)$. Una función $f: X \to Y$ es continua en $X$ si y solo si para todos los conjuntos abiertos $O$ en $Y$, las pre-imágenes $f^{-1}(O)$ son abiertas en X.

Este teorema se toma como un axioma en enfoques más axiomáticos de la Topología. He escuchado que este enfoque es un tema común en Matemáticas. ¿Por qué es eso? Me doy cuenta de que ahorra tiempo al no tener que reinventar la rueda, y oculta el desorden detrás de las cortinas. Pero he estado pensando mucho en cómo un Lógico reduciría enunciados en Matemáticas Superiores a primeros principios, por lo que tal vez esto sea una admisión de que este ejemplo no es el mejor para plantear esta pregunta (ya que esta prueba es del tipo "el siguiente paso es siempre lo único que puedes hacer" escenario)

Pero realmente quiero preguntar a cualquiera que esté leyendo cómo se puede estar seguro de que las condiciones sutiles que se requieren en la demostración de un enunciado en el "contexto de nicho" coincidan exactamente en los trabajos posteriores si este Teorema se adopta como un Axioma? ¿Los Lógicos tienen que preocuparse por esto? Como si la Ley del Tercero Excluido no es aplicable al Teorema que estamos adoptando como un Axioma, entonces tenemos que descartar la prueba por contradicción de nuestro arsenal Matemático.

Otros pensamientos ásperos:
Los conjuntos abiertos forman la base de la Topología. Y ya que algunos conjuntos pueden ser tanto abiertos como cerrados y algunos no pueden ser ni abiertos ni cerrados. ¿Significa también que el L.E.M no es aplicable en ninguna parte de la Topología y por lo tanto la prueba por contradicción es una herramienta prohibida?

P.D.: Disculpas a cualquiera que vio esto antes de que se publicara. La pregunta estaba solo a medias escrita y no tenía sentido. Soy nuevo en este sitio web.

Answer 1

Supongo que te refieres a que primero definimos la continuidad de $f : \mathbb R \to \mathbb R$ como $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ para todo $a \in \mathbb R,$ generalizamos esto a otros dominios métricos $X$ y espacios objetivos $Y$, luego demostramos en un teorema que $f$ es continua si y solo si $f^{-1}(V)$ es abierto en $X$ para todo $V$ que es abierto en $Y, y finalmente tomamos esta propiedad como una definición de continuidad para aplicaciones entre espacios topológicos generales.

Mi respuesta a tu pregunta es que esto es una gran parte de la generalización. Encuentra propiedades comunes y úsalas como axiomas en un nuevo ámbito.

Por ejemplo, las matrices cuadradas con determinante no nulo pueden ser compuestas e invertidas. También las translaciones pueden ser compuestas e invertidas. Varias otras cosas pueden ser compuestas e invertidas (revertidas). Las operaciones comunes entonces se convierten en la base de la teoría de grupos.

Answer 2

1. Vamos a despejar primero la parte fácil. ¿"Ya que algunos conjuntos pueden ser tanto abiertos como cerrados y algunos pueden ser ni abiertos ni cerrados. ¿Significa esto que el L.E.M no es aplicable en Topología en ningún lugar y, por lo tanto, la prueba por contradicción es una herramienta prohibida?" No. "Abierto" -- en topología -- no significa "no cerrado", ni "cerrado" significa "no abierto". Consulta las definiciones oficiales de estos dos conceptos en tu libro de topología favorito. [Puede que te quejes, supongo, de que el uso de la jerga sea algo poco útil, dado que en contextos ordinarios, "abierto" y "cerrado" son contradictorios. Pero simplemente tienes que estar alerta en casos como este, donde los matemáticos adoptan palabras ordinarias vivas para un uso técnico no relacionado, aunque algunas de las implicaciones de las palabras ordinarias se pierden en el contexto matemático.]
2. En cuanto al punto más general sobre el fenómeno de que el resultado de un teorema aquí sea tratado como un axioma allí. Hay varios tipos de casos aquí. Pero uno (no atípico) se puede ilustrar de la siguiente manera. Damos, por ejemplo, axiomas para los números reales como un campo ordenado completo - y mostramos que, bajo estas suposiciones, se siguen muchas consecuencias. Sin embargo, nos preguntamos, ¿existen campos ordenados completos? (De hecho, ¿incluso son consistentes esos axiomas?) Luego demostramos que, sí, en un marco de teoría de conjuntos, podemos construir un campo ordenado completo - definimos cortes de Dedekind en los racionales, por ejemplo, y luego probamos muchos teoremas que indican que estos cortes forman un campo ordenado completo. Bien: los teoremas muestran que nuestros axiomas de campo son realmente ciertos para alguna estructura set-teórica.
3. Pero habiendo hecho eso, para muchos propósitos, ahora podemos olvidarnos de la construcción - los teoremas nos reconfortan al indicarnos que no estamos hablando de un sinsentido inconsistente al adoptar los axiomas de un campo ordenado completo. Pero una vez que sabemos que hay tales campos, para muchos propósitos simplemente no nos importa de qué campo ordenado completo estemos hablando: podemos y realmente olvidamos la base. Nos abstraemos de cualquier implementación "concreta" de la estructura (y por lo tanto olvidamos los teoremas que hablan sobre una implementación concreta), y ahora simplemente pensamos de manera más general: dados estos enunciados sobre campos ordenados completos, tratados como axiomas y sin preocuparnos por implementaciones particulares, ¿qué sigue sobre cualquier estructura que satisfaga estos axiomas?