Límites superior e inferior en $Var(Var(X\mid Y))$

Question

¿Hay alguna propiedad en particular que \begin{align*} Var(Var(X\mid Y)) \end{align*> cumple para que podamos derivar límites superiores e inferiores sobre ella? Por ejemplo, si reemplazamos $Var$ con esperanza tenemos \begin{align*> E[E[X\mid Y]]=E[X] \end{align*>

Esta pregunta está relacionada en cierta medida con la que se encuentra aquí.

Una manera de proceder es usar \begin{align*> Var(Var(X\mid Y))&=E[Var^2(X\mid Y)]-(E[Var(X\mid Y)])^2\\ &=E[Var^2(X\mid Y)]-MMSE^2(X|Y) \end{align*>

donde podemos acotar $E[Var^2(X\mid Y)]$ como \begin{align*> E[Var^2(X\mid Y)]&=E[(E[(X-E[X|Y])^2|Y])^2] \\ &\le E[(E[(X-E[X|Y])^4|Y)]\\ &= E[(X-E[X|Y])^4] \end{align*> y tenemos una cota

\begin{align*> Var(Var(X\mid Y)) &\le E[(X-E[X|Y])^4]-MMSE^2(X|Y)\\ &=E[(X-E[X|Y])^4]-(E[(X-E[X|Y])^2])^2 \end{align*>

La pregunta es ¿podemos hacerlo mejor y encontrar una cota más ajustada?

Si necesita más suposiciones, podemos asumir que $Y=X+Z$ donde $X$ y $Z$ tienen varianza finita y media cero e son independientes.

¡Estaría muy agradecido por cualquier idea que tengan!

Answer 1

Es una pregunta antigua, así que no sé si tiene sentido responderla ahora... De todos modos, sin asumir $Y=X+Z$ con $X$ independiente de $Z$, tu cota superior es ajustada. Para ver esto, nota que se alcanza si $$X= E(X|Y) + c(Y) e,$$ donde $e$ es una variable de Rademacher independiente de $Y$. Entonces, $$E((X- E(X|Y))^2|Y)^2 = c(Y)^4 = E((X- E(X|Y))^4|Y)$$ y $E((X- E(X|Y))^2|Y)^2 \leq E((X- E(X|Y))^4|Y)$ es la única desigualdad que utilizaste (creo que $X= E(X|Y) + c(Y) e$ es en realidad el único caso donde ocurre la igualdad).

En cuanto a la cota inferior, en realidad es 0: simplemente considera $X=E(X|Y)+ U$ con $U$ independiente de $Y$. Nota que esta cota inferior trivial se puede alcanzar incluso si $Y=X+Z$ con $X$ independiente de $Z$. Toma por ejemplo $X$ y $Z$ normales, de modo que $(X,Y)$ sea normal multivariante. Entonces $X-E(X|Y)$ es independiente de $Y$ y $Var(Var(X|Y))=0$.