¿Cuál es un ejemplo de tres números que no forman un vector?

Question

En una de las conferencias de Feynman menciona que:

Por supuesto, generalmente no es cierto que cualquier tres números formen un vector

Para que sea un vector, no solo debe haber tres números, sino que estos deben estar asociados con un sistema de coordenadas de manera que si giramos el sistema de coordenadas, los tres números "giren" entre sí, se "mezclen" unos con otros, por las leyes precisas que ya hemos descrito.

Una rápida búsqueda en Google sobre vectores y veo frases como "un vector es un elemento de un espacio vectorial". Wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial) tiene una lista de 8 axiomas que deben satisfacerse para tener un espacio vectorial. Al leer estos axiomas, no puedo imaginar ningún conjunto de 3 números que, al combinarse para formar un vector, no satisfacerían estos axiomas. Me encantaría recibir ayuda para entender lo que Feynman quiere decir aquí.

Answer 1

Cada triple de números (reales) es un elemento del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ y, por definición, un vector como ya has descubierto.

En física, a menudo trabajamos con el espacio euclidiano $E$ (la variedad de Riemann de todos los puntos en el espacio tridimensional). Describimos este espacio eligiendo un sistema de coordenadas ortogonales en $E$, es decir, una isometría $i: E \to \mathbb{R}^3$. Ahora, lo que realmente quiere decir Feynman es que los números producidos por $i$ y los números producidos por cualquier otro sistema de coordenadas ortogonales en $E$ deben estar relacionados de una manera específica. Voy a describir esta relación a continuación:

Isomorfismo de coordenadas y cambio de base

En primer lugar, hay una isometría natural entre $E$ y el espacio tangente de $E$ en cualquier punto $o$, donde un punto $p\in E$ corresponde al vector que apunta desde $o$ hacia $p$. Así que obtenemos una descripción completa de $E$ considerando solo el espacio tangente de $E$ para un punto $o \in E$ (el origen).

Elegimos un origen $o$ y una base $A= (a_1, a_2 ,a_3)$ del espacio tangente $T_o E$ de $E$ en $o$ y luego tenemos un isomorfismo (un mapa lineal invertible) \begin{align} J: E &\longrightarrow \mathbb{R}^3 \\ \alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \alpha_3 a_3 &\longmapsto \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} \end{align} que envía un vector euclidiano a sus componentes con respecto a la base $A$. Ahora, si tomamos una base diferente $B =(b_1, b_2, b_3)$ del espacio tangente a $o$ de $E$, entonces obtenemos otro isomorfismo $I: E \to \mathbb{R}^3 $ del mismo tipo. Podemos preguntarnos cuál es la relación entre las componentes de un vector $v \in E$ con respecto a $A$ y $B$. Podemos hacerlo de la siguiente manera: Para $i \in \{1,2,3\}$ tenemos que $b_i = \sum_{j=1}^{3} c_{ji}a_j$ para algunos coeficientes $c_{ji} \in \mathbb{R}$ ya que $A$ es una base. Podemos formar una matriz $C=(c_{ji})_{j,i} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ a partir de estos coeficientes.

Sea $v = \sum_{j=1}^3 \alpha_j a_j \in E$ y también $v =\sum_{i=1}^3 \beta_i b_i $ . Entonces tenemos $$v = \sum_{i=1}^3 \beta_i b_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \beta_i c_{ji} a_j $$ y por lo tanto, como las coordenadas son únicas, tenemos usando la multiplicación de matrices $$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} = C \cdot \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} .$$ Y así encontramos la relación entre las coordenadas antiguas y las nuevas.

Ahora, en el caso del espacio euclidiano $E$, solo estamos interesados en el caso en que $A$ y $B$ son ambas una base ortonormal de modo que $J$ y $I$ son isomorfismos isométricos cuando $\mathbb{R}^3$ lleva el producto escalar habitual. Esto restringe aún más que $C$ sea miembro del grupo ortogonal $O(3)$. Nota que también podemos elegir orígenes diferentes $o$ y ver cómo se transforma el sistema de coordenadas en ese caso.

Answer 2

No puedo imaginar ningún conjunto de 3 números que, al combinarse para formar un vector, no cumplan con estos axiomas

Asumo que cuando dices "combinados para formar un vector" en realidad quieres decir "combinados para formar un n-tupla" (es decir, una lista ordenada) - de lo contrario estarías preguntando "¿existen vectores que no son vectores?". Entonces tu pregunta se convierte en "¿existen n-tuplas que no son vectores?". Y la respuesta es definitivamente sí.

Por ejemplo, supongamos que definimos la suma de dos 3-tuplas $A = (a_1,a_2,a_3)$ y $B = (b_1,b_2,b_3)$ como $A+B = (\max(a_1,b_1), \max(a_2,b_2), \max(a_3,b_3))$ y la multiplicación de $A$ por un escalar $t$ como $tA = (a_1, ta_2, t^2a_3)$. Entonces hemos creado algún tipo de espacio algebraico a partir de nuestra colección de 3-tuplas, pero ciertamente no es un espacio vectorial.

Un vector no es una lista ordenada de números. Es un objeto matemático que puede sumarse a otros vectores y multiplicarse por escalares de una manera que cumple con los axiomas de un espacio vectorial. Un vector puede ser representado por una lista ordenada de números, que son sus coordenadas relativas a un sistema de coordenadas dado. Y una vez que introducimos la representación de coordenadas, podemos definir la suma y multiplicación de vectores en términos de operaciones en estas coordenadas. Es un error identificar un vector con su representación de coordenadas porque (a) un vector tiene muchas representaciones de coordenadas diferentes, dependiendo del sistema de coordenadas elegido y (b) simplemente que te den una tupla de números no garantiza que esa tupla sea parte de un espacio vectorial, como muestra el ejemplo anterior.

Answer 3

Por supuesto, generalmente no es cierto que cualquier conjunto de tres números forme un vector

Para que sea un vector, no solo debe haber tres números, sino que deben estar asociados con un sistema de coordenadas de tal manera que si giramos el sistema de coordenadas, los tres números "giren" entre sí, se "mezclen" entre sí, según las leyes precisas que ya hemos descrito.

Él está diciendo que un vector en un espacio vectorial de $3$ dimensiones puede ser identificado con una función que asigna tres números a cada base (sistema de coordenadas) y que cumple cierta regla de transformación. Aquí se expresa esto en términos matemáticos:

Sea $V$ un espacio vectorial de $n$ dimensiones sobre $F$. Una base corresponde a un isomorfismo de espacio vectorial $B\in L(V,F^n)$. Sea $A\subset L(V,F^n)$ el conjunto de todas las bases y $$W:=\{f:A\to F^n:\forall B,\tilde B\in A:f(\tilde B)=\tilde B B^{-1}f(B)\}$$ entonces podemos definir una biyección $$\Phi:V\to W$$ estableciendo $$\forall v\in V:\forall B\in A:\Phi(v)(B)=B(v).$$

Answer 4

Considera la lista \begin{align} (N_f,\, N_c,\, N_s) = (10, 1, 0) \end{align} donde $N_f$ es el número de dedos en mis manos, $N_c$ es el número de gatos en mi cama y $N_s$ es el número de zapatos en mis pies. Estos números no cambian bajo ninguna transformación de coordenadas euclídea, por lo que esta lista de números no es un vector euclidiano.

Answer 5

El problema no es si tres números forman un vector; la cuestión es si tres variables forman un vector. Llamar a una variable "un número" es probablemente una simplificación y tu pregunta expone una insuficiencia de esa simplificación.

No hay nada intrínsecamente vectorial o no vectorial en los valores $(1,10,\pi)$ que los haga "un vector" o no. Depende de lo que esos números representen en tu modelo de... algo.

Si los tres números son, por ejemplo, coordenadas geométricas, entonces la estructura matemática de un espacio vectorial (multiplicación escalar, suma, etc.) tendrá significado en cómo tu modelo describe el espacio: la suma de vectores describe una traslación, la multiplicación escalar un agrandamiento/reducción y varias transformaciones geométricas pueden expresarse en el lenguaje del álgebra lineal.

Si eliges variables no relacionadas (por ejemplo, temperatura, ID de usuario, número de estudiantes inscritos en física 101) o variables que están relacionadas pero para las cuales las operaciones del espacio vectorial no tienen sentido (como temperatura, humedad y presión del aire), entonces tienes lo que la mayoría de la gente llamaría "no-un-vector" porque incluso si podrías hacer álgebra lineal con esos números, esas operaciones no corresponden a nada significativo sobre lo que esos números están describiendo, por lo que no son "un vector" en ese sentido.