¿Cuál es un ejemplo de tres números que no forman un vector?

Question

En una de las conferencias de Feynman menciona que:

Por supuesto, generalmente no es cierto que cualquier tres números formen un vector

Para que sea un vector, no solo debe haber tres números, sino que estos deben estar asociados con un sistema de coordenadas de manera que si giramos el sistema de coordenadas, los tres números "giren" entre sí, se "mezclen" unos con otros, por las leyes precisas que ya hemos descrito.

Una rápida búsqueda en Google sobre vectores y veo frases como "un vector es un elemento de un espacio vectorial". Wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial) tiene una lista de 8 axiomas que deben satisfacerse para tener un espacio vectorial. Al leer estos axiomas, no puedo imaginar ningún conjunto de 3 números que, al combinarse para formar un vector, no satisfacerían estos axiomas. Me encantaría recibir ayuda para entender lo que Feynman quiere decir aquí.

Answer 1

Si hago clic en el enlace "compartir" debajo de tu pregunta, obtengo la URL https://physics.stackexchange.com/q/768023/44126. Si hago clic en tu nombre de usuario, obtengo la URL https://physics.stackexchange.com/users/295770/zinn. Hay tres números en estos dos enlaces:

1. el índice de la base de datos de tu pregunta, 768023
2. el índice de la base de datos de mi cuenta de usuario, 44126
3. el índice de la base de datos de tu cuenta de usuario, 295770

Podrías combinar estos números en una lista, donde el primer número es el ID de la publicación, el segundo número es el ID de usuario de la persona que ha solicitado un enlace de "compartir", y el tercer número es el ID de usuario de la persona que ha hecho la pregunta. Pero ahora tienes que preguntarte si un proceso de "suma de vectores", que es un requisito previo a los axiomas que mencionas en el artículo de Wikipedia, tiene sentido. Si simplemente utilizas la suma ordinaria en los diferentes "componentes" del "vector", entonces los resultados de "sumar dos publicaciones" realmente no significan nada. En particular, el espacio de las publicaciones no está cerrado bajo la adición: si construimos uno de estos "vectores" para la publicación de otra persona y sumamos los IDs de la base de datos, casi seguro que no obtendremos un "vector" que apunte a otra publicación de Physics Stack Exchange. La identidad aditiva no es un miembro del espacio vectorial, porque no hay ninguna publicación o usuario con identificador de base de datos cero. No hay inverso aditivo en el espacio vectorial, porque no hay identificadores de base de datos con números negativos.

Ten en cuenta que la página de Wikipedia a la que enlazas define un espacio vectorial matemático. Cuando los físicos hablan de vectores, incluido en tu cita de Feynman, generalmente no estamos hablando de cualquier espacio vectorial abstracto posible, sino específicamente de vectores que pueden describir las ubicaciones de objetos en relación unos con otros en el mundo en el que vivimos. Esos vectores físicos están sujetos a reglas de transformación adicionales, que te permiten pasar de los tres números que elegirías como las coordenadas de tu vector a los tres números que elegiría alguien que esté mirando los mismos objetos desde un asiento diferente en tu mesa. Si este otro observador está sentado enfrente de ti, o está suspendido desde el techo sobre ti, sus coordenadas estarán relacionadas con las tuyas por una "rotación". Son las propiedades de rotación las que definen los vectores de física.

Answer 2

La temperatura, la densidad y la concentración de vapor de agua en un punto de la atmósfera son tres números. Sin embargo, cualquier terna de esos valores no se ve afectada por un cambio en el marco de referencia espacial. Más o menos, esta es la idea detrás de las palabras de Feynman.

Sin embargo, el argumento de Feynman no fue del todo preciso desde un punto de vista matemático. Él hizo un buen punto al resaltar que una terna de números no necesariamente representa un vector, pero dio un ejemplo incorrecto y pasó por alto el problema real.

Permítanme mostrar un contraejemplo donde la debilidad del argumento de Feynman se puede ver fácilmente, mostrando al mismo tiempo por qué no se puede interpretar cualquier terna de números como el conjunto de componentes de un $3D$ vector.

Asociemos una flecha a una rotación en el espacio, de tal manera que la orientación de la flecha codifique el eje de rotación y la dirección de la rotación, la longitud de la flecha sea el tamaño del ángulo de rotación.

Por supuesto, podemos asociar tres componentes a tales flechas, y claramente, cualquier cambio de los ejes cartesianos resultaría en la transformación "correcta": si giramos el sistema de coordenadas, los tres números "giran" entre sí, se "mezclan" entre sí, por leyes precisas como las discutidas por Feynman.

Aún así, no podemos decir que el conjunto de todas las posibles rotaciones en $3D$ es un espacio vectorial, y consecuentemente, nuestros tres números que se transforman bien no son las componentes de un vector que representa una rotación. La razón es que para tener un vector debemos decir algo sobre el significado de las operaciones definidas en el conjunto de objetos. En particular, para hacer contacto con la definición matemática de espacio vectorial, debemos definir la multiplicación por un escalar y la suma de dos rotaciones. No hay problema con la multiplicación por un escalar. La suma de dos rotaciones, sin embargo, no es la misma que la regla usual del paralelogramo para dos flechas. Se puede ver fácilmente aplicando dos rotaciones sucesivas de $90^{\circ}$ alrededor de dos direcciones ortogonales, digamos alrededor de los ejes $z$ y $x$. El resultado final de aplicar primero las rotaciones alrededor del eje $z$ y luego del eje $x$, no es el mismo si se invierte el orden de las dos rotaciones (algunas imágenes interesantes se pueden encontrar en las respuestas a esta pregunta en Mathematics Stack Exchange). Esto implica que la suma de dos rotaciones, definida como la rotación final, no es conmutativa, y esto implica el fracaso de asociar un espacio vectorial a las rotaciones en $3D$. De hecho, es bien sabido que solo las rotaciones infinitesimales pueden ser asociadas con vectores.

En resumen, la afirmación principal en la conferencia de Feynman es correcta: no es suficiente asociar tres números reales a una cantidad física para tener un vector. Sin embargo, la razón no es la que Feynman dijo, sino el hecho de que la definición matemática de un espacio vectorial contiene, como un ingrediente fundamental, la asociación de reglas de combinación al conjunto de elementos, y esas reglas tienen ciertas restricciones. En particular, la suma debe ser conmutativa. Observen que las reglas de composición son el corazón de la posibilidad de introducir los componentes del vector y sus reglas de transformación. Por lo tanto, deberían considerarse el requisito más básico para definir qué es un vector.

Answer 3

Cada objeto matemático tanto es como no es un vector, dependiendo del contexto. Preguntar si (3,5,9) es un "vector" es como preguntar si Barack Obama es un "miembro". De hecho, él es miembro de algunos clubes y no de otros. Para preguntar significativamente "¿Barack Obama es un miembro?", tienes que tener en mente algún club en particular. Para preguntar significativamente si (3,5,9) es un vector, tienes que tener en mente algún espacio vectorial en particular.

Un espacio vectorial (real) es una colección de objetos matemáticos junto con alguna regla para sumar dos vectores juntos y alguna regla para multiplicar un escalar (es decir, un número real) por un vector. (También hay algunos axiomas que estas operaciones deben cumplir, que otros han enumerado.) Cuando tienes en mente un espacio vectorial, los elementos de ese espacio vectorial se llaman vectores. Cuando no tienes un espacio vectorial en mente, esos mismos elementos no se llaman vectores.

Ejemplo 1: Hay un espacio vectorial que consiste en todas las triples de números reales. Puedes sumar dos de estos y puedes multiplicar por escalares, de la manera habitual. Cuando tienes ese espacio vectorial en mente, cualquier triple de números reales es un vector, y nada más es un vector.

Ejemplo 2: Hay un espacio vectorial que consiste en todos los polinomios cuadráticos con coeficientes reales. Puedes sumar dos de estos y puedes multiplicar por escalares, de la manera habitual. Cuando tienes ese espacio vectorial en mente, cualquier polinomio cuadrático con coeficientes reales es un vector, y nada más es un vector.

Ejemplo 3 (este es un poco extraño, pero perfectamente legítimo): Hay un espacio vectorial que consiste en todas las triples de números reales excepto por (0,0,0), junto con el número 8. Has decidido sumar estos y multiplicar por escalares según las reglas habituales para triples, junto con la regla de que v+8=v para cualquier vector v, y r x 8 = 8 para cualquier escalar r. Cuando tienes ese espacio vectorial en mente, (3,7,1), (2,-1,0) y 8 son todos vectores, pero (0,0,0) no es un vector.

Ejemplo 4: Igual que el ejemplo 4, pero en lugar del número 8, usa el círculo unitario (no los diversos elementos del círculo unitario, sino el círculo unitario en sí). Con este espacio vectorial en mente, el círculo unitario es un vector. Con cualquiera de los Ejemplos 1, 2, 3 en mente, no lo es.

Finalmente: Toma el ejemplo de la respuesta de @rob. Él está hablando de triples para los cuales no tienes una buena definición de adición. (Podrías intentar sumar dos de estos triples de la manera habitual, pero obtendrías un tercer triple que no es uno de los triples permitidos). Si tienes esta colección de triples en mente, entonces no tienes en mente ningún espacio vectorial en absoluto. Entonces (768023, 44126, 295770) no es un vector (y tampoco lo es nada más). Pero si tienes en mente el ejemplo 1, entonces la misma tripleta sí es un vector.

Answer 4

Si escribes cualquier tres números $\mathbb R$, entonces constituyen un elemento del espacio vectorial $\mathbb R^3$. Esto es obviamente cierto, lo que lleva a confusión sobre lo que los físicos quieren decir cuando decimos que no todos los conjuntos de números constituyen vectores.

Lo que queremos decir es que si consideras tres cantidades valuadas en $\mathbb R$ que tienen sus propias reglas de transformación y luego las compilas en una terna, entonces esa lista generalmente no se transforma de la misma manera que lo hace un vector honesto. Te daré un ejemplo, en 2D para simplificar.

Sea $\mathbf u = (1,0)$ y $\mathbf v = (2,1)$ elementos de $\mathbb R^2$. Bajo la acción de una matriz de rotación $R_\theta$, tenemos

$\mathbf u \mapsto \mathbf u' = R_\theta \mathbf u = \pmatrix{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta}\pmatrix{1\\0} = \pmatrix{\cos\theta\\\sin\theta}$

$\mathbf v \mapsto \mathbf v' = R_\theta\mathbf v = \pmatrix{2\cos\theta -\sin\theta\\ 2\sin\theta + \cos\theta}$

Más generalmente, un vector $\mathbf w$ es enviado a $\mathbf w' = R_\theta\mathbf w$ que tiene componentes $w'^i = (R_{\theta})^i_{\ \ j} w^j$.

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Ahora definiré una terna $\mathbf x = \big(\Vert \mathbf u \Vert , \mathbf u \cdot \mathbf v\big) = (1,2)$. Sus componentes son valuadas en $\mathbb R$, pero están definidas en términos de cantidades que ya tienen sus propios comportamientos de transformación prescritos. Es decir, bajo la acción de la rotación tendríamos que

$\mathbf x \mapsto \mathbf x' = \big(\Vert \mathbf u' \Vert , \mathbf u' \cdot \mathbf v'\big) = (1,2)$

Sin embargo, es fácil ver que debido a que la norma y el producto punto son invariantes bajo rotaciones, $\mathbf x' = \mathbf x$. Si $\mathbf x$ fuera un vector, entonces tendríamos que $\mathbf x' = R_\theta \mathbf x = \pmatrix{\cos\theta - 2 \sin\theta\\ \sin\theta + 2\cos\theta} \neq \mathbf x$

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Entonces, para resumir, dado un espacio vectorial $V\simeq \mathbb R^n$, los vectores se transforman de una manera particular bajo la acción de una transformación lineal $T$. Cualquier lista arbitraria de $n$ números $\mathbb R$ define un vector (al menos en alguna base). Sin embargo, no cualquier lista arbitraria de $n$ cantidades valuadas en $\mathbb R$ - que tienen sus propias existencias independientes - se transforma de la misma manera.

Answer 5

Para un matemático, un vector es un miembro de un espacio vectorial. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que forman un grupo bajo $+$. La multiplicación por cualquier número real (o complejo) da otro vector en el espacio.

Tienes que definir el conjunto y las operaciones para hacer un espacio vectorial. No puedes definir un solo vector de forma aislada. A menos que estés definiendo un espacio vectorial trivial que contenga solo el vector $\vec 0$.

Hay muchas formas de definir un conjunto y dos operaciones que no hacen un espacio vectorial. Toma un conjunto finito. Toma una operación + donde $\vec x + \vec y$ siempre se suma al mismo vector.

Tal vez estés pensando que dado cualquier tres números, siempre puedes definir un espacio vectorial que los contenga. Tal vez.

Toma algo fuera de lo común como la coordenada x de la posición y las coordenadas y z de la velocidad. Puedes hacer un espacio vectorial con esto. Toma la adición para sumar coordenadas como de costumbre. Toma la multiplicación para multiplicar cada coordenada como de costumbre. De hecho, es un espacio vectorial.

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Los físicos tienen un requisito adicional. Debe transformarse correctamente cuando se cambia la base.

Las coordenadas deben tener un significado físico. Y cuando cambias la base tomando una combinación lineal de ellas, deben seguir teniendo un significado físico.

En la práctica, esto significa que todos deben ser del mismo tipo de cantidad. Por ejemplo, todos deben ser distancia, o todos deben ser velocidad.

Entonces, un espacio de fases de termodinámica es un ejemplo real de un espacio vectorial matemático que no es un espacio vectorial físico. Para un sistema con $n$ átomos, es un espacio dimensional de $6n$. Tiene las coordenadas espaciales de cada partícula, y las coordenadas de momento. Un solo punto muy complejo representa la posición y el momento de cada átomo.

Los físicos utilizan dicho espacio, pero no como un espacio vectorial. A medida que el sistema evoluciona en el tiempo, siguen el estado del sistema por la posición del punto en el espacio. Nunca suman dos puntos juntos, o multiplican el punto por un número. Ciertamente nunca cambian la base para ver el sistema desde el punto de vista de otro marco de referencia inercial.

Otro ejemplo instructivo es el espacio tiempo. Esto combina $3$ coordenadas espaciales y $1$ coordenada temporal en un único espacio vectorial de $4$. En este espacio, haces combinaciones lineales de espacio y tiempo. Son significativas físicamente. Son necesarias para representar correctamente el sistema como se ve desde otro marco de referencia inercial. Esto funciona porque el espacio y el tiempo son mucho más parecidos de lo que imaginarías por la experiencia cotidiana.

Una de esas similitudes es el fracaso de la simultaneidad. Alicia está al lado de la carretera, mientras que Bob conduce por delante. En $t_0$, ambos están en el mismo lugar. En $t_1$, Alicia dice que está en el mismo lugar que antes, pero Bob se ha movido. Bob no está de acuerdo. Él todavía está en el lugar donde estaba. Nadie se sorprende por esta discrepancia.

Se sorprenden por la equivalente discrepancia sobre los intervalos de tiempo. Alicia$_1$ y Alicia$_2$ están en extremos opuestos de una estación de tren. Bob$_1$ y Bob$_2$ pasan en el furgón de cola y la locomotora de un tren. Los Bob sincronizan sus relojes. Están de acuerdo en que Bob$_1$ pasa por Alicia$_1$ al mismo tiempo que Bob$_2$ pasa por Alicia$_2$. Las Alicias también sincronizan sus relojes. Dicen que cuando Bob$_1$ pasa por Alicia$_1$, Bob$_2$ aún no ha alcanzado a Alicia$_2$. Bob$_1$ pasa por Alicia$_1$ en un momento posterior.