Prueba de que $\oint_C 1dz = 0$

Question

Necesito ayuda en la siguiente prueba:

Sea $C$ un contorno cerrado. Demuestra que $$\oint_C 1dz = 0$$

Usando este hecho, demuestra que si $C'$ es cualquier camino que conecta $z_1$ con $z_2$, entonces $$\int_C 1 \cdot dz = z_2 - z_1$$ por lo tanto, esta integral depende solo de los puntos de inicio y final, y no del camino de integración que conecta estos dos puntos.

He intentado usar el Teorema Integral de Cauchy ($\oint_\gamma f(z)dz = 0$), pero no tuve éxito para $f(z) = 1$.

¿Alguien podría ofrecer alguna ayuda?

Answer 1

Cada $dz$ puede ser considerado como un vector tangente a la curva, sumando todos los vectores tangentes, obtienes 0 ya que forma un bucle cerrado.

Answer 2

El Teorema Integral de Cauchy es definitivamente la forma de proceder aquí. $\mathbb{C}$ es en forma de estrella y $f: z \mapsto 1$ es definitivamente una función holomorfa en $\mathbb{C}$ y por lo tanto la integral es 0. También puedes imaginarlo de esta manera: Para un contorno cerrado $\gamma$, la integral es simplemente dada por $$\int_\gamma 1 dz = \int_a^b \gamma'(t)dt$$ por lo que simplemente estás sumando muchos vectores tangentes infinitesimales. Pero tienen que cancelarse de alguna manera, ¡ya que $\gamma$ es cerrado! Por lo tanto, la integral es 0.

Para la segunda declaración, si $\gamma$ es una curva que conecta $z_1$ y $z_2$, intenta mirar $$\int_{\gamma \oplus {\gamma^-} 1 dz$$ donde ${\gamma}^-$ es simplemente $\gamma$ recorrido en la otra dirección.

Answer 3

El Teorema de Cauchy parece un poco exagerado para evaluar esta integral. Simplemente notaría que $w:=f(z)dz$, con $f(z):=1, \hspace{2mm} z \in \Bbb C$ es una forma exacta en $\Bbb C$ porque admite la primitiva $dF$ con $F(z):=z, \hspace{2mm} z \in \Bbb C$; por lo tanto, cualquier integral a lo largo de una curva cerrada y piecewise-diferenciable en $\Bbb C$ debe ser $0$. En cuanto a tu segundo punto, puedes nuevamente usar la primitiva para evaluar fácilmente la integral; de hecho, si $z_1$ y $z_2$ son los extremos de una curva piecewise-diferenciable $\gamma$ en $\Bbb C$, entonces:

$$ \int_{\gamma} w = F(z_2)-F(z_1) = z_2-z_1$$