¿Cómo demostrar que si una función continua satisface $f(a b)=f(a) + f(b)$, esta función debe ser una función logarítmica?

Question

¿Cómo demostrar que si una función continua satisface $f(ab)=f(a)+f(b)$ y ambos $a$ y $b$ son números reales positivos, esta función debe ser una función logarítmica? es decir, demostración de unicidad. Gracias

Answer 1

Si $f(xy) = f(x) + f(y)$ entonces tomando $g(x) = f(e^x)$ obtenemos $g(x+y) = g(x) + g(y)$ lo cual es la ecuación funcional de Cauchy. Esta ecuación ha sido discutida en muchas preguntas en este sitio, vea Resumen de hechos básicos sobre la ecuación funcional de Cauchy para una muy buena visión general con varios enlaces. Si se asume que $f$ es continua (en un solo punto) entonces las únicas soluciones $f:\mathbb{R_{>0}}\to \mathbb{R}$ son de la forma $f(x) = C \log(x)$ para alguna constante $C$. Si no se asume la continuidad entonces no tiene por qué haber una solución única (vea el enlace anterior para saber cómo construir ejemplos explícitos).

Vea también las preguntas más directamente relacionadas:

1. Ecuación funcional $f(xy)=f(x)+f(y)$ y continuidad
2. Ecuación funcional $f(xy)=f(x)+f(y)$ y diferenciabilidad
3. ¿Existe otra función con una propiedad similar al logaritmo?

Answer 2

Aquí hay una prueba rápida que evita elegantemente todo el rollo de $(1+1/n)^n$ en el original de Euler:

Sea $$ {df\over dx} = g(x) $$ Aplicando los primeros principios $$ {df\over dx} = \lim_{h\to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} $$ $$ = \lim_{h\to 0} {f(1+{h\over x})\over h} $$ por virtud de la ecuación funcional.

Ahora sea $t=h/x$ y reescribimos como un límite en $t$: $$ {df\over dx} = \lim_{t\to 0} {f(1+t) \over tx} $$ $$ = {g(1)\over x} \quad \text{por la regla de l'Hopital} $$ Esto muestra que solo las soluciones a la ecuación funcional tienen derivadas de la forma $g(1)/x$.

Podemos elegir libremente $g(1)$, lo cual es equivalente a la elección de la base para el logaritmo. Estableciéndolo en la 'elección natural' de $1$ nos da logaritmos naturales.

No es difícil mostrar que las soluciones diferenciables abarcan todas las soluciones continuas. Supongamos que hay una solución continua $f'$. Seleccionemos un valor $x$ y consideremos la función diferenciable $f$ tal que $f(x) = f'(x)$. Entonces $f$ y $f'$ deben ser iguales para todos los poderes racionales de $x$. Dado que éstos son densos, podemos aplicar un límite a cualquier valor real y por lo tanto las dos funciones son iguales.

Answer 3

Sabemos que: $f(ab) = f(a) + f(b)$, eso nos da:

$f(1\cdot a) = f(1) + f(a)$ lo que nos da:

$f(1) = 0$

Ahora: $f(\frac{1}{a} \cdot a) = f(1) = 0 = f(\frac{1}{a}) + f(a)$

También: $f(a^{n}) = nf(a)$ , y usando algún tipo de inducción podríamos obtener: $f(a_{1}^{\alpha_{1}} \dots) = \sum \alpha_{i}f(a_{i})$.

Entonces esta función nos devuelve cero en $1$. Nos devuelve la suma de productos de potencia con sus múltiplos. Y es igual a la función negada en el punto inverso.

Así que esto es $log_{a}(x)$.