¿Cómo encontrar una solución para una matriz con 1 ecuación y 3 variables desconocidas?

Question

La tarea es encontrar todas las soluciones para $A_1x = 0$ con $x\in \mathbb R^3$

$$A_1 = \begin{pmatrix} 6 & 3 & -9 \\ 2 & 1 & -3 \\ -4 & -2 & 6 \\ \end{pmatrix} $$

La solución dada es la siguiente: $$L_1 = \{ \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix} | \lambda, \mu \in \mathbb R \}$$

Según entiendo, la matriz tiene 3 incógnitas y solo 1 ecuación resultando en: $$A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Mi enfoque fue encontrar una forma de mostrar las soluciones reorganizando $x_1, x_2$ y $x_3$ en dependencia el uno del otro, lo que resulta en:

$$L_1 = \{x = \begin{pmatrix} \frac{3x_3-x_2}{2} \\ 3x_3-2x_1 \\ \frac{2x_1 + x_2}{3} \end{pmatrix} \space | \space x \in \mathbb R^3\}$$

Intenté buscar un problema similar pero usualmente hay al menos dos ecuaciones para tres incógnitas resultando en una libre de elegir y las otras dependiendo de la elegida.

Answer 1

No entiendo cómo puedes representar las soluciones de la ecuación lineal $$2x_1+x_2-3x_3=0$$ como $$L_1 = \left\{x = \begin{pmatrix} \frac{3x_3-x_2}{2} \\ 3x_3-2x_1 \\ \frac{2x_1 + x_2}{3} \end{pmatrix} \space | \space x \in \mathbb R^3\right\}.$$ Puedes escribir, por ejemplo, $$L_1 = \left\{\begin{pmatrix} \frac{3x_3-x_2}{2} \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \space | x_2, x_3 \in \mathbb{R}\right\} =\{ x_2 \mathbf{u} + x_3 \mathbf{v} | x_2, x_3 \in \mathbb{R} \}$$ donde $$ \mathbf{u}=(-1/2,1,0)^t\quad\mathbf{v}=(3/2,0,1)^t.$$ Similarmente $$L_1 = \left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_3-2x_1 \\ x_3\end{pmatrix} \space | \space x \in \mathbb R^3\right\} =\{ x_1 \mathbf{u} + x_3 \mathbf{v} | x_1, x_3 \in \mathbb{R} \}$$ donde $$ \mathbf{u}=(1,-2,0)^t\quad\mathbf{v}=(0,3,1)^t.$$ El conjunto de todas las soluciones de la ecuación dada es un espacio vectorial de dimensión $2$ en $\mathbb{R}^3$. Encontramos dos vectores linealmente independientes $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ que satisfacen la ecuación y el conjunto de soluciones se puede escribir como $$L_1 = \{ \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{v} | \lambda, \mu \in \mathbb{R} \}.$$