Inverso de una función compuesta de $\mathbb R$ a $\mathbb{R}^p$ a $\mathbb R$ nuevamente con un gradiente continuo no nulo en un punto

Question

Sea $D \subset \mathbb{R}^p$ y $f: D \to \mathbb{R}$ una función continua. Sea $a$ un punto en $D$. Sea $\nabla f(a) \neq 0$ y sea el gradiente continuo en $a$.

Para demostrar: existe una función $c: [a, b] \to \mathbb{R}^p$ tal que $f(c(t)) = t$ para todo $t \in [a, b]$.

Sé que existe una función inversa si la función es inyectiva y qué son las derivadas parciales. Sin embargo, no sé cómo aplicar la regla de la cadena en varias variables.

Answer 1

¡Así que supongamos que $\nabla f$ existe en un vecindario de $a$!

$\nabla f(a) \neq 0$, así que sin pérdida de generalidad, supongamos que $\frac{\partial f}{\partial x_1} (a) \neq 0$ y $f(a) = 0$.

Esto significa que la función $g(t) = f(a+ t e_1)$ es continuamente diferenciable en $t=0$ y $g' (0) = \frac{\partial f}{\partial x_1} (a) \neq 0$, por lo que según el teorema de la función inversa (caso de una dimensión), $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene una inversa localmente alrededor de $t=0$, es decir, $g^{-1}: (-\delta, \delta) \to (-\epsilon, +\epsilon)$ es continua. Ahora define $c: (-\delta, \delta) \to \mathbb{R}^p$ con $c(t) = a + g^{-1} (t) e_1$.

P.D.: $e_1 = (1, 0, 0,..., 0)$

Si te resulta costoso usar el teorema de la función inversa, puedes argumentar de la siguiente manera: sin pérdida de generalidad, supongamos que $g' (0) = \frac{\partial f}{\partial x_1} (a) > 0$. Esto garantiza que para $\delta > 0$ suficientemente pequeño, $g'(x) > 0$ para todo $x \in (-\delta, +\delta)$ porque $g'$ es continua en $t=0$. Entonces $g$ es estrictamente creciente, por lo que tiene una inversa.

Answer 2

La afirmación de la pregunta no es verdadera:

Para $p=1$, sea $\phi : R \to R$ la conocida función continua, pero no diferenciable en ningún lugar.

Ahora tomamos $f(x):=x + x^2 \phi(x)$ entonces $f$ es continua en todas partes, $Dom (f')= \{0\}$ y $f' (0) =1 >0$ por lo que $f'$ es continua. Pero no hay ningún subintervalo $(a,b)$ en el cual $f$ sea invertible.