Integrando en $\mathbb{R}$ sumando en $\mathbb{Q}^+$

Question

¿Se cumple el siguiente método de integración para funciones lo suficientemente regulares $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$?

\begin{align} &\zeta(2)\sum_{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}_n} \frac{F(\log \frac{a}{b})}{\sqrt{abn}}\xrightarrow[n\to \infty] {} \int F(x) \, \textrm{d} x \qquad \\ \text{donde } \quad &\mathbb{Q}_n = \{\tfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}^+:\gcd(a,b)=1, ab\leq n\}. \end{align}

Answer 1

Llame a una función $F$ agradable, si $$\DeclareMathOperator{\Dm}{d\!} \begin{align} &\zeta(2)\sum_{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}_n} \frac{F(\log \frac{a}{b})}{\sqrt{abn}}\xrightarrow[n\to \infty]{}\int F(x)\Dm x \qquad \label{1}\tag{1}\\ \textrm{donde } \quad &\mathbb{Q}_n = \{\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}^+,\textrm{ gcd}(a,b)=1, ab\leq n\} \quad . \end{align} $$ Obviamente, las funciones agradables forman un $\mathbb{R}$-espacio lineal. Además, suponga que para alguna función $F$ para cada $\varepsilon>0$ existen funciones agradables $F_1,F_2$ tales que $F_1\leqslant F\leqslant F_2$ y $\int (F_2-F_1)<\varepsilon$. Entonces $F$ es agradable en sí misma. De hecho, $$ \begin{split} \limsup_{n\to \infty} \zeta(2)\sum_{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}_n} \frac{F(\log \frac{a}{b})}{\sqrt{abn}} & \leqslant \limsup_{n\to \infty} \zeta(2)\sum_{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}_n} \frac{F_2(\log \frac{a}{b})}{\sqrt{abn}}\\ &=\int F_2\Dm x \leqslant \varepsilon+\int F_1 \Dm x\\ &\leqslant \varepsilon+\int F\Dm x, \end{split} $$ y, dado que $\varepsilon>0$ es arbitrario, el limsup de la LHS de \eqref{1} no supera $\int F$. Analógicamente, el liminf no es inferior a $\int F$. Por lo tanto, el liminf y el limsup son ambos iguales a $\int F$, así que $F$ es agradable.

Si demostramos que para todo real $p la función característica del segmento $[p,q]$ es agradable, por la observación anterior automáticamente obtenemos que toda función correctamente integrable de Riemann es agradable.

Entonces, fije $p y considere $F=\chi_{[p,q]}$. Luego \eqref{1} se lee como $$\zeta(2)\sum_{e^p\leqslant a/b\leqslant e^q,\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}_n} \frac{1}{\sqrt{ab}}\sim (q-p)\sqrt{n}.\label{2}\tag{2}$$ Fije una constante positiva pero pequeña $c$. Divida la suma en \eqref{2} en dos partes: la suma $S_c$ corresponde a aquellos puntos $(a,b)$ para los cuales $\min(a,b)\geqslant c\sqrt{n}$, la suma $R_c$ ($R$ para el resto) a aquellos puntos $(a,b)$ para los cuales $\min(a,b)< c\sqrt{n}$. Ambas sumas son sobre regiones $\sqrt{n}\cdot \Omega_s,\sqrt{n}\cdot \Omega_r$ respectivamente que son imágenes homotéticas de regiones fijas $\Omega_s$, $\Omega_r$.

Por la distribución uniforme de puntos coprimos, obtenemos $$S_c\sim \sqrt{n}\int_{\Omega_c}\frac{\Dm x\Dm y}{\sqrt{xy}}$$ ($\Omega_c$ está lejos de todas las singularidades de la integranda, así que no hay problemas). Para $R_c$, podemos acotar la suma sobre puntos coprimos por la suma de todos los puntos enteros con coordenadas positivas, que se puede acotar por encima por la integral correspondiente. Dado que $\int_{x,y>0, xy<1, e^p converge, la cota que obtenemos para $R_c$ es algo pequeño (cuando $c$ es pequeño) veces $\sqrt{n}$, y la integral sobre $\Omega_c$ está cerca (nuevamente si $c$ es pequeño) de la integral $$\int_{x,y>0,e^p