Probabilidad - Juego de sobreviviente

Question

En una temporada reciente del programa de televisión Survivor, 16 jugadores fueron divididos en dos equipos de 8 jugadores cada uno. A un jugador de cada equipo se le dio aleatoriamente un ídolo secreto que no tendría poder hasta más adelante en el juego. Los equipos luego compitieron en desafíos cada pocos días, con cada equipo teniendo la misma probabilidad de ganar cada desafío. El equipo perdedor perdería entonces un jugador al azar. ¿Cuál es la probabilidad (como fracción) de que, cuando queden 10 jugadores, ambos jugadores con un ídolo secreto todavía estén en el juego?

¿Hay alguna forma fácil de resolver esto sin considerar exhaustivamente los resultados?

Answer 1

Teniendo en cuenta todos los casos para tamaños finales de equipos

2 - 8:

La probabilidad de cualquier tamaño final de equipo siempre tiene el factor de $\frac{1}{2^6}$ debido a que la probabilidad de que un miembro del equipo se vaya es $\frac{1}{2}$.

$$\rightarrow \frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{1}{256}$$

3 - 7:

Sin embargo, se requiere un factor adicional para este caso para tener en cuenta las diferentes combinaciones en las que los miembros pueden ser retirados de cada equipo para dar como resultado este tamaño final de equipo.

$$\rightarrow \binom{6}{1}\cdot\frac{3}{8} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{63}{2048}$$

4 - 6:

$$\rightarrow \binom{6}{2}\cdot\frac{4}{8} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{45}{512}$$

5 - 5:

$$\rightarrow \binom{6}{3}\cdot\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{45}{512} = \frac{125}{1024}$$

Los casos de 2 - 8, 3 - 7, 4 - 6 pueden ocurrir dos veces porque los equipos pueden intercambiarse. Estos resultados pueden ser multiplicados por un factor de 2 para tenerlo en cuenta.

Sumando todos los resultados:

$$\frac{2}{256} + \frac{126}{2048} + \frac{90}{512} + \frac{125}{1024} = \boxed{\frac{47}{128}}$$