Deja que $C \subset X$ sea un espacio conectado y $A \subset X$ tal que $C\cap A \neq \emptyset$ y $C\cap (X-A) \neq \emptyset$. Probar...

Question

Sea $C \subset X$ un espacio conexo y $A \subset X$ tal que $C\cap A \neq \emptyset$ y $C\cap (X-A) \neq \emptyset$. Demuestra que $C\cap \partial A \neq \emptyset$.

No sé cómo probar esto ya que no logro ver cómo puedo usar el hecho de que C es conexo. Cualquier pista sería apreciada.

Answer 1

Que $C$ esté conectado significa que no es una unión de dos conjuntos disjuntos que son abiertos en $C$. Tenga en cuenta que $C \cap \mathring A$ y $C \cap \mathring {X\setminus A}$ son ambos abiertos en $C$.