Una integral que surge del problema de Kepler $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\ \frac{\sin^2\theta\ \text{d}\theta}{(1 + \epsilon\cos\theta)^2}$

Question

Estoy lidiando con esta integral en mi tiempo libre, desde hace días y días, y es realmente interesante. Voy a escribir lo que he intentado hasta ahora, y realmente apreciaría algo de ayuda para entender cómo continuar.

$$\Phi(\epsilon) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\ \frac{\sin^2\theta\ \text{d}\theta}{(1 + \epsilon\cos\theta)^2}$$

Nota: La integral surge al estudiar el problema de Kepler, por eso $\epsilon\in [0;\ 1]$.

Comencé con los pasajes al plano complejo: $$\sin\theta = \frac{1}{2i}(z - z^{-1}) ~~~ \cos\theta = \frac{1}{2}(z + z^{-1}) ~~~ \text{d}\theta = \frac{\text{d}z}{iz}$$

por lo tanto

$$\begin{align*} \Phi(\epsilon) & = \frac{1}{2\pi}\oint_{|z| = 1}\ \frac{-\frac{1}{4}(z - z^{-1})^2\ \text{d}z}{iz\left[1 + \epsilon\frac{(z + z^{-1}}{2}\right]^2} \\\\ & = -\frac{1}{8\pi i}\oint_{|z| = 1}\ \frac{(z - z^{-1})^2\ \text{d}z}{z\left[\frac{2 + \epsilon(z + z^{-1})}{2}\right]^2} \\\\ & = -\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z| = 1}\ \frac{(z - z^{-1})^2\ \text{d}z}{z(2 + \epsilon(z + z^{-1})^2} \\\\ & = -\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z| = 1}\ \frac{\left(\frac{z^2 - 1}{z}\right)^2\ \text{d}z}{z\left(2 + \epsilon\frac{z^2+1}{z}\right)^2} \\\\ & = -\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z| = 1}\ \frac{(z^2-1)^2\ \text{d}z}{z(2z + \epsilon(z^2+1))^2} \end{align*}$$

Puntos singulares y demás

Los puntos singulares están en $z_0 = 0$ y cuando $2z + \epsilon(z^2+1) = 0$, es decir

$$z_1 = \frac{1+\sqrt{1 - \epsilon^2}}{\epsilon} ~~~ z_2 = \frac{1-\sqrt{1 - \epsilon^2}}{\epsilon}$$

Comprobando que $z_1\cdot z_2 = 1$ está bien, la pregunta ahora es:

Pregunta 1.: ¿cuál de ellos, además de $z_0$, se encuentra dentro del círculo unitario?

Pregunta 2.: ¿Cómo proceder?

Answer 1

Estoy asumiendo $0 < \epsilon < 1$ en lo siguiente. Los casos $\epsilon = 0$ y $\epsilon = 1$ deben tratarse por separado, ver abajo.

Hay un pequeño error en tu cálculo, las raíces de $2z + \epsilon(z^2+1) = 0$ son $$ z_1 = \frac{-1-\sqrt{1 - \epsilon^2}}{\epsilon} \, , \quad z_2 = \frac{-1+\sqrt{1 - \epsilon^2}}{\epsilon} $$

Pregunta 1.: ¿cuál, aparte de $z_0$, está dentro del círculo unitario?

A partir de $$ 1+\sqrt{1 - \epsilon^2} > 1 > \epsilon $$ se deduce que $z_1 < -1$ y consecuentemente, $-1 < z_2 < 0$, es decir, $z_2$ está dentro del disco unitario y $z_1$ fuera.

Pregunta 2.: ¿Cómo proceder?

Ya tienes que $$ \Phi(\epsilon) = -\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z| = 1} \frac{(z^2-1)^2\ }{z(2z + \epsilon(z^2+1))^2} \, dz = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z| = 1} f(z) \, dz $$ con $$ f(z) := -\frac{1}{2 \epsilon^2} \frac{(z^2-1)^2\ }{z(z-z_1)^2(z-z_2)^2} $$ Del teorema de los residuos se deduce que $$ \Phi(\epsilon) = \text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, z_2) \, . $$ $f$ tiene un polo simple en $z = 0$, por lo tanto $$ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z f(z) = -\frac{1}{2 \epsilon^2} \, . $$ $f$ tiene un polo doble en $z = z_2$. Un método posible para calcular el residuo es el formula de límite para polos de orden superior: $$ \text{Res}(f, z_2) = \lim_{z \to z_2} \frac{d}{dz} \bigl((z-z_2)^2 f(z) \bigr) \, . $$

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Casos especiales: Para $\epsilon = 0$ la integral se convierte en $$ \Phi(0) = -\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z| = 1} \frac{(z^2-1)^2}{2z^3} \, dz = -\frac{1}{8\pi i}\oint_{|z| = 1} \bigl( z - \frac 2z + \frac{1}{z^3}\bigr) \, dz $$ que se puede calcular fácilmente usando el teorema de los residuos. Alternativamente, $$ \Phi(0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta $$ se puede calcular directamente.

Para $\epsilon = 1$, la integral se convierte en $$ \Phi(1) = -\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z| = 1} \frac{(z-1)^2}{z(z+1)^2} \, dz $$ que es infinito debido a la singularidad en $z=-1$. Alternativamente, $$ \Phi(1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\sin^2\theta}{(1 + \cos\theta)^2} \, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{(2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})^2 }{(2 \cos^2 \frac{\theta}{2})^2} \, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \tan^2 \frac{\theta}{2}\, d\theta $$ es infinito.