[Verificación de solución]
Demuestra que si $f$ es entera y $|f(z)| \leq |z|^2+12$ para todo $z \in \mathbb C$ entonces $f$ es un polinomio de grado $\leq 2$
Entonces aquí está mi demostración, y hay algo problemático que me gustaría abordar:
Dado que $f(z)$ es entera, podemos desarrollar una serie de potencias alrededor de $z=0$, de modo que $f(z)=\Sigma_{n=0}^\infty a_nz^n$, con $a_n= \frac {f^{(n)}(0)}{n!}$. Será suficiente demostrar que $f^{(n)}=0$ para todo $n \geq 3$
Sea un círculo $C_R$ con radio $R$ centrado en $z=0$. Entonces, por la fórmula de la integral de Cauchy general, obtenemos que:
$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C_R}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz$$
Entonces sabemos que $$|f^{(n)}(0)|=|\frac{n!}{2\pi i}\int_{C_R}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz| \leq \frac{n!}{2\pi} \cdot Longitud(C_R) \cdot \max _{z \in C_R} \frac{1}{|z^{n+1}|} \cdot \max _{z \in C_R}|f(z)|=\\ =\frac{n!}{2\pi} \cdot 2 \pi R \cdot \frac {1}{R^{n+1}} \cdot \max _{z \in C_R}|f(z)|=n! \frac {|z|^2+12}{R^n} \leq n!\frac {R^2+12}{R^n} $$
Entonces cuando $R \rightarrow \infty$, para $n \geq 3$ obtenemos $|f^{(n)}(0)| \leq 0$ por lo tanto $f^{(n)}(0)=0$ para $n \geq 3$, por lo tanto QED.
Mi problema: ¿Es correcta esta afirmación? $$\max _{z \in C_R}|f(z)|=|z|^2+12$$ Dado que esto no es una constante, parece que $f$ no tiene un máximo en un círculo $C_R$, así que no estoy seguro de poder usarlo.
¡Gracias!
