Cardinalidad de conjuntos no vacíos

Question

Supongamos que $X$ e $Y$ son conjuntos no vacíos, demostrar que $\operatorname{card}(X) \leq \operatorname{card}(Y)$ si y solo si $\operatorname{card}(Y) \geq \operatorname{card}(X)$

No estoy seguro de cómo demostrarlo, pero creo que primero necesito decir que $f:X\rightarrow Y$ es inyectiva, luego elegir algún $x_0\in X$ y definir una función $g:Y\rightarrow X$ como $g(y) = f^{-1}(y)$ si $y \in f(X)$, $g(y) = x_0$. Esto hace que $g$ sea sobreyectiva, pero siento que falta algo o una mejor forma de demostrar esto, cualquier sugerencia es grandemente apreciada.

Answer 1

Tenemos dos hechos para mostrar:

Si hay una función inyectiva $f:X\to Y$, entonces hay una función sobreyectiva $g:Y\to X$.

Prueba: De hecho, toma cualquier $x\in X$ y define

$$g(y)=\begin{cases}f^{-1}(y) & \text{si }y\in f(X)\\ x& \text{en otro caso} \end{cases}$$

Si hay una función sobreyectiva $g:Y\to X$, entonces hay una función inyectiva $f:X\to Y$.

Prueba: Para cada $x\in X$ toma cualquier elemento $y\in g^{-1}(\{x\})$ (se necesita el Axioma de Elección aquí) y define $f(x)=y.

No sé si se puede evitar el Axioma de Elección.