$\mathbb{Q}(\sqrt{23})$ no es un campo numérico euclidiano.

Question

El problema al que me enfrento es el del título:

El problema. Demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{23})$ no es un campo numérico euclidiano.

Desde $23\not\equiv 1\pmod{4}$ hay que demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{23}]$ no es un dominio euclidiano.

Sé cómo demostrar que no es norma euclidiana, pero aún así podría ser euclidiana con una función diferente.

La única forma que conozco de demostrar que un dominio no es euclidiano es utilizando el teorema de Motzkin:

Teorema. Un dominio $D$ es euclidiano si y sólo si $\bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} P_0^{(i)} = \emptyset$ .

Aquí $P_0^{(0)} = P_0 := D\setminus\{0\}$ y definimos recursivamente $P^{(i+1)}_0 := (P^{(i)}_0)'$ para todos $i\in\mathbb{N}$ donde para cualquier $P\subseteq D$ el derivado set $P'$ de $P$ viene dada por $P' := \{b\in P\, ;\, \exists a\in D\text{ such that }a+bD\subseteq P\}$ .

Funciona bien para los campos cuadráticos imaginarios ya que sólo tienen $1$ y $-1$ como unidades: Considerando $K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ para $d < -11$ se puede demostrar que $P_0^{(i)} = A\setminus\{0, 1, -1\}$ para todos los enteros $i\ge 1$ , donde $A$ es el anillo de enteros de $K$ Por lo tanto, por el teorema de Motzkin $K$ no es euclidiano. Pero en $\mathbb{Q}(\sqrt{23})$ tenemos demasiadas unidades y ni siquiera puedo determinar $P_0''$ .

Answer 1

Lo que voy a decir se basa en dos resultados que no he verificado por mí mismo. En primer lugar, doy por sentado que $\mathbb{Z}[\sqrt{23}]$ es un dominio ideal principal y, por tanto, un dominio de factorización único. Segundo, que si un anillo es euclidiano tiene un divisor lateral universal, y que un elemento de norma mínima entre no unidades en un anillo euclidiano es un divisor lateral universal .

Desde $N(5 + \sqrt{23}) = 2$ y estamos tratando con un dominio de factorización único, se deduce que cualquier número en este dominio con norma par es divisible por $5 + \sqrt{23}$ . Si un número en este dominio tiene norma impar, entonces basta con sumar o restar $1$ para que sea un número de norma par.

Entonces para $\gcd(a, b)$ donde $a \neq 0$ y $b = 5 + \sqrt{23}$ siempre podemos encontrar un $q \neq 0$ tal que $a = qb \pm 1$ ; obviamente $|N(a)| \geq 1$ . Por lo tanto, $5 + \sqrt{23}$ es un divisor lateral universal y, por tanto, también $\mathbb{Z}[\sqrt{23}]$ es un dominio euclidiano.

Te tomo la palabra de que puedes demostrar que este dominio no es norm-euclidiano. Supongo que el ejemplo mínimo de fracaso de la norma euclidiana es $\gcd(4 + \sqrt{23}, 5)$ Ya me dirás si está bien o mal. No tengo ni idea de cuál puede ser la función euclidiana.