Si $f(x) < g(x)$, prueba que $\int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x)dx.$

Question

1) Permita que $f$ y $g$ sean funciones Riemann integrables en $[a,b]$. Suponga que $f(x) < g(x)$ para cada $x\in [a,b]$. Demuestre que $\int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x)dx.

Básicamente mi idea era descomponer la integral en particiones y mostrar la desigualdad para cada una... aquí está mi trabajo... no estoy seguro si es correcto

Permita que $f$ y $g$ sean funciones Riemann integrables en $[a,b]$ y suponga que $f(x) < g(x)$ para cada $x\in [a,b]$. Dado que $f$ y $g$ son Riemann integrables, sabemos que los puntos donde son discontinuos forman un conjunto de medida cero. Entonces $\exists A \subseteq [a,b]$ tal que A no es un conjunto de medida cero y $\forall z\in A$, $f$ y $g$ son continuas en $z$. Suponga $x_0\in A$. Entonces $f(x_0) < g(x_0)$, ya que $x_0$ está en el dominio de $f$ y $g$. Ahora permita $\epsilon = g(x_0) - f(x_0)$. Por la continuidad de $f$ y $g$ en $x_0$, tenemos que $\exists \delta > 0 $ tal que si $x\in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ entonces $\mid f(x_0) - f(x) \mid < {\epsilon \over 4.}$ Entonces $f(x_0) - {\epsilon \over 4} < f(x) < f(x_0) + {\epsilon \over 4}$. De manera similar, $g(x_0) - {\epsilon \over 4} < g(x) < g(x_0) + {\epsilon \over 4}$. Luego $(g(x_0) - {\epsilon \over 4}) - (f(x_0) + {\epsilon \over 4}) < g(x) - f(x)$, por lo tanto $f(x) + {\epsilon \over 2} < g(x)$. Ahora tome $$\int_a^b g(x)dx = \int_a^{x_0 - \delta} g(x)dx + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x)dx + \int_{x_0 + \delta}^b g(x)dx. $$ Sabemos que $$\int_a^{x_0 - \delta} f(x)dx \leq \int_a^{x_0 - \delta} g(x)dx,$$ $$ \int_{x_0 + \delta}^b f(x) dx \leq \int_{x_0 + \delta}^b g(x) dx, $$ y $$ \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} (f(x) + {\epsilon \over 2})dx \leq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x)dx. $$ Pero \begin{align} \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} (f(x) + {\epsilon \over 2})dx & = \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} f(x) dx + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} {\epsilon \over 2} dx\\ &= \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} f(x) dx + {\epsilon \over 2}\mid 2\delta \mid. \end{align} De esta forma $$ \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} f(x) dx < \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x) dx.$$ Por lo tanto $\int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x)dx.

¿Está bien esto?

Answer 1

Pista: $h:=g-f>0$ en $[a,b]$. ¿Puedes afirmar que

$$\int_a^b h(x)dx>0$$

según la definición de la integral de Riemann?

Answer 2

Sea $h(x) = g(x) - f(x)$ entonces $h(x)$ es Riemann-integrable en $[a, b]$ y por lo tanto es continua casi en todas partes. Por lo tanto, debe haber un punto interior $c \in (a, b)$ donde $h(x)$ es continua. Dado que $h(c) > 0$ se sigue que hay un intervalo $[c -\delta, c + \delta]$ donde $h(x)$ es positiva y por lo tanto $m_{c} = \inf \{h(x)\mid x \in [c -\delta, c + \delta]\} > 0$. Claramente tenemos $$\int_{a}^{b}h(x)\,dx \geq \int_{c - \delta}^{c + \delta}h(x)\,dx \geq 2\delta\cdot m_{c} > 0$$ y por lo tanto $$\int_{a}^{b}f(x)\,dx < \int_{a}^{b}g(x)\,dx$$

Actualización: Al mirar el comentario del usuario a mi respuesta, incluso yo descubrí una solución mucho más simple que evita el teorema de Lebesgue ("una función acotada es Riemann integrable si y solo si es continua casi en todas partes"). Esto puede o no ser lo que el usuario tenía en mente.

Dado que $h(x)$ es integrable sobre $[a, b]$, tanto las sumas inferiores como las superiores para $h(x)$ convergen al mismo valor $A$. Y claramente, dado que $h(x) > 0$ debemos tener sumas inferiores no negativas para que $A \geq 0$. Supongamos que $A = 0$. Entonces las sumas superiores también convergen a $0$. Se sigue que el límite superior de $h(x)$ debe ser $0$ en algún subintervalo. Esto contradice que $h(x) > 0$. Por lo tanto, debemos tener $A > 0$, es decir, $\int_{a}^{b}h(x)\,dx > 0$.

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Actualización: El argumento en el párrafo anterior es incorrecto. La demostración adecuada no es tan fácil. Echa un vistazo a esta respuesta.